（全国版）2019版高考数学一轮复习 不等式选讲 第2讲 不等式的证明增分练

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1、第2讲　不等式的证明板块三　模拟演练·提能增分[A级　基础达标]1．已知a，b，c，d均为正数，S＝＋＋＋，则一定有(　　)A．0＋＋＋＝1，S<＋＋＋＝2，∴11，>1，>1，∴··>1与··＝1矛盾，∴至少有一个不大于1.3．设x>0

2、，y>0，M＝，N＝＋，则M、N的大小关系为________．答案　M＋＝＝M.4．已知a，b∈R，a2＋b2＝4，则3a＋2b的取值范围是________．答案　[－2，2]解析　根据柯西不等式(ac＋bd)2≤(a2＋b2)·(c2＋d2)，可得(3a＋2b)2≤(a2＋b2)·(32＋22)∴－2≤3a＋2b≤2.3a＋2b∈[－2，2]．[B级　能力达标]5．求证：＋＋＋…＋<(n∈N*)．证明　∵＝∴左边＝＝<.6．[2018·泸州模拟]设函数f(x)＝＋

3、x＋a

4、(a>0)．(1)证明：f(x)≥4；(2)若f(2)<5，求

5、a的取值范围．解　(1)证明：＋

6、x＋a

7、≥＝a＋≥4；当且仅当a＝2时取等号．(2)f(2)＝＋

8、a＋2

9、.①当a＝2时，＋

10、2＋a

11、<5显然满足；②当02时，不等式变成a2－a－4<0，∴

12、2x－1

13、.(1)若不等式f≤2m＋1(m>0)的解集为[－2,2]，求实数m的值；(2)对任意x∈R，y>0，求证：f(x)≤2y＋＋

14、2x＋3

15、.解　(1)不

16、等式f≤2m＋1⇔

17、2x

18、≤2m＋1(m>0)，∴－m－≤x≤m＋，由解集为[－2,2]，可得m＋＝2，解得m＝.(2)证明：原不等式即为

19、2x－1

20、－

21、2x＋3

22、≤2y＋.令g(x)＝

23、2x－1

24、－

25、2x＋3

26、≤

27、(2x－1)－(2x＋3)

28、＝4，当2x＋3≤0，即x≤－时，g(x)取得最大值4，又2y＋≥2＝4，当且仅当2y＝，即y＝1时，取得最小值4.则

29、2x－1

30、－

31、2x＋3

32、≤2y＋.故原不等式成立．8．[2018·黄山期末](1)已知a，b∈(0，＋∞)，求证：x，y∈R，有＋≥；(2)若0

33、，(2－b)c，(2－c)a不能同时大于1.证明　(1)证法一：(a＋b)＝x2＋＋＋y2≥x2＋2xy＋y2＝(x＋y)2，当且仅当＝，即

34、bx

35、＝

36、ay

37、时取等号，由于a，b∈(0，＋∞)，所以有＋≥.证法二：由柯西不等式得(a＋b)≥2，即(a＋b)≥(x＋y)2，＋≥.(2)假设结论不成立，即(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a同时大于1.⇒(2－a)b·(2－b)c·(2－c)a>1，而(2－a)b·(2－b)c·(2－c)a＝(2－a)a·(2－b)b·(2－c)c≤222＝1，这与(2－a)b·(2－b)c·(2－c)a>1矛盾．所以假

38、设错误，即(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能同时大于1.9．[2018·天津期末]已知x>y>0，m>0.(1)试比较与的大小；(2)用分析法证明：(2－)≤1.解　(1)因为－＝，x>y>0，m>0.所以m(y－x)<0，x(x＋m)>0，所以<0，即－<0，所以<.(2)证明：(用分析法证明)要证(2－)≤1，只需证2－()2≤1，只需证()2－2＋1≥0，即证(－1)2≥0，因为x，y>0，且(－1)2≥0成立，所以(2－)≤1.10．[2018·江阴市期末]已知实数a>0，b>0.(1)若a＋b>2，求证：，中至少有一个小于2；(2)若

39、a－b＝2，求证：a3＋b>8.证明　(1)假设，都不小于2，则≥2，≥2，因为a>0，b>0，所以1＋b≥2a,1＋a≥2b，1＋1＋a＋b≥2(a＋b)，即2≥a＋b，这与已知a＋b>2相矛盾，故假设不成立．综上，，中至少有一个小于2.(2)∵a－b＝2，∴b＝a－2，∵b>0，∴a>2，∴a3＋b－8＝a3－8＋a－2＝(a－2)(a2＋2a＋5)，∴(a－2)[(a＋1)2＋4]>0，∴a3＋b>8.