高中数学 3.1.1变化率问题与导数概念导学案 新人教a版选修1-1

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1、湖南省邵阳市隆回县第二中学高中数学3.1.1变化率问题与导数概念导学案新人教A版选修1-1学习目标1．知识与技能：理解函数在某点的平均变化率的概念并会求此变化率．2．过程与方法：理解函数在处的瞬时变化率，理解导数的概念和定义．学习重、难点重点：函数在某一点的平均变化率，瞬时变化率、导数的概念．难点：导数的概念的理解．知识梳理1．在高台跳水运动中，运动员在t1≤t≤t2这段时间里的位置为s1≤s≤s2，则他的平均速度为.2．已知函数y＝f(x)，令Δx＝，Δy＝，则当Δx≠0时，比值＝，称作函数f(x)从x1到

2、x2的平均变化率．3．物体在某一时刻的速度称为．4．一般地，如果物体的运动规律是s＝s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体在t到t＋Δt这段时间内，当Δt→0时平均速度的极限，即v＝＝5．一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是＝，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′

3、x＝x0，即f′(x0)＝.学习过程1.平均变化率[例1]　求函数y＝x3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并计算当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值．[分析]　直接利用概念求平均变化率，先求

4、出表达式，再直接代入数据就可以得出相应的平均变化率．应用变式1某质点沿曲线运动的方程为f(x)＝－2x2＋1(x表示时间，f(x)表示位移)，则该质点从x＝1到x＝2时的平均速度为(　　)A．－4　　　　　　　　B．－8C．6D．－62.瞬时变化率[例2]以初速度v0(v0＞0)垂直上抛的物体，t秒时的高度为s(t)＝v0t－gt2，求物体在时刻t0处的瞬时速度．应用变式2一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，求此物体在t＝2时的瞬时速度．1.利用定义求函数某点处的导数[例3]　根据导数

5、定义求函数y＝x2＋＋5在x＝2处的导数．应用变式3求y＝f(x)＝在x＝1处的导数．[例4]　设f(x)在x0处可导，求的值．课堂巩固训练一、选择题1．若函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则等于(　　)A．4　　　　　　B．4xC．4＋2ΔxD．4＋2(Δx)22．如果质点A按规律s＝2t3运动，则在t＝3秒时的瞬时速度为(　　)A．6B．18C．54D．813．当自变变到时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数(　　)A．在区间[，]上的平均变化率B．在处

6、的变化率C．在处的导数D．在区间[，]上的导数4．已知f(x)＝，则f′(0)＝(　　)A．Δx－3B．(Δx)2－3ΔxC．－3D．0二、填空题5．已知函数f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于______．6．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为____________．三、解答题7．枪弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a＝5×105m/s2，枪弹从枪口射出所用的时间为1.6×10－3s.求枪弹射出枪口时的瞬时速度．课后强化作业一、选择题1．在函数变化率的定义中，自变

7、量的增量Δx满足(　　)A．Δx＜0　　　　　B．Δx＞0C．Δx＝0D．Δx≠02．函数在某一点的导数是(　　)A．在该点的函数的增量与自变量的增量的比B．一个函数C．一个常数，不是变数D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率3．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x②y＝x2③y＝x3④y＝中，平均变化率最大的是(　　)A．④B．③C．②D．①4．质点M的运动规律为s＝4t＋4t2，则质点M在t＝t0时的速度为(　　)A．4＋4t0B．0C．8t0＋4D．4t0＋4t5．函数y＝x＋在x＝1

8、处的导数是(　　)A．2B.C．1D．06．函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，Δy＝(　　)A．f(x0＋Δx)B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·ΔxD．f(x0＋Δx)－f(x0)7．一个物体的运动方程是s＝3＋t2，则物体在t＝2时的瞬时速度为(　　)A．3B．4C．5D．78．f(x)在x＝x0处可导，则(　　)A．与x0，Δx有关B．仅与x0有关，而与Δx无关C．仅与Δx有关，而与x0无关D．与x0，Δx均无关9．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)

9、＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　　)A．f′(x)＝aB．f′(x)＝bC．f′(x0)＝aD．f′(x0)＝b10．f(x)在x＝a处可导，则等于(　　)A．f′(a)B.f′(a)C．4f′(a)D．2f′(a)二、填空题11．f(x0)＝0，f′(x0)＝4，则＝________.12．某物体做匀速运动，其运动方程是s＝vt＋b，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度