“哥德巴赫猜想”初等证明完整

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1、“哥德巴赫猜想”初等证明王若仲（务川县实验学校贵州564300）摘要：对于“哥德巴赫猜想”，我们探讨一种简捷的初等证明方法，要证明任一不小于6的偶数均存在有“奇素数+奇素数”的情形，我们把这样的情形转换到利用奇合数的个数来加以理论分析，就是通过顺筛和逆筛的办法，顺筛就是筛除掉不大于偶数2m（m≥3）的全体奇合数以及逆筛就是筛除掉偶数2m（m≥3）分别减去不大于偶数2m（m≥3）的全体奇合数而得到的全体奇数，其中主要是利用孙子—高斯定理以及同余的性质，得到一个筛法公式：Y=m（1-d1÷p1）（1-d2÷p2）（1-d3÷p3）…（1-dt-1÷pt-1）（1-dt÷pt），其

2、中di=1或2（i=1，2，3，…，t），m为任意给定的一个比较大的正整数（m≥3）；p1，p2，p3，…，pt均为不大于√2m的全体奇素数（pi＜pj，i＜j，i、j=1，2，3，…，t），t∈N。我们利用这个筛法公式，就能够明确的判定在任意设定的集合{1，3，5，7，9，…，（2m-1）}中，完全可以筛除掉集合{1，3，5，7，9，…，（2m-1）}中的全体奇合数，完全可以筛除掉偶数2m分别减去集合{1，3，5，7，9，…，（2m-1）}中的每一个奇合数而得到的全体奇数；其中集合{1，3，5，7，9，…，（2m-1）}通过这样筛除后，最后集合中剩下的奇数必定只满足“奇素数

3、+奇素数=2m”的情形。并由此判定“哥德巴赫猜想”成立。关键词：哥德巴赫猜想；奇素数；奇合数；顺筛；逆筛。中图分类号：0156引言哥德巴赫猜想：任何一个不小于6的偶数均可表为两个奇素数之和。我们首先介绍“哥德巴赫猜想”历史上的研究方法及其进展，德国数学家哥德巴赫在1742年提出“哥德巴赫猜想”，历史上研究“哥德巴赫猜想”的方法及进展。(一)比较有名的方法大致有下面四种[1]：（1）筛法，（2）圆法，（3）密率法，（4）三角求和法。其中：筛法是求不超过自然数Ｎ（Ｎ＞1）的所有素数的一种方法，2m=a+b，a=p1p2p3…pi，b=q1q2q3…qj，筛法的基本出发点，即加权筛

4、法；圆法是三角和（指数和）估计方法；密率法（概率法）是函数估值法。(二)研究的进展途径一：殆素数，即2m=a1·a2·a3·…·ai108+b1·b2·b3·…·bj。殆素数就是素因子个数不多的正整数。现设N是偶数，虽然现在不能证明N是两个素数之和，但是可以证明它能够写成两个殆素数的和，即N=A+B，其中A和B的素因子个数都不太多，譬如说素因子个数不超过10。现在用“a+b”来表示如下命题：每个大偶数N都可表为A+B，其中A和B的素因子个数分别不超过a和b。显然，哥德巴赫猜想就可以写成“1+1”。在这一方向上的进展都是用所谓的筛法得到的。　“a+b”问题的推进　　　1920年

5、，挪威的布朗证明了“9+9”。　　1924年，德国的拉特马赫证明了“7+7”。　　　1932年，英国的埃斯特曼证明了“6+6”。　　　1937年，意大利的蕾西先后证明了“5+7”,“4+9”,“3+15”和“2+366”。　　　1938年，苏联的布赫夕太勃证明了“5+5”。　　　1940年，苏联的布赫夕太勃证明了“4+4”。　　　1956年，中国的王元证明了“3+4”。稍后证明了“3+3”和“2+3”。　1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1+c”，其中c是一很大的自然数。　1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1+5”，中国的王元证明了“1+4”。　1965年，苏联的

6、布赫夕太勃和小维诺格拉多夫，及意大利的朋比利证明了“1+3”。1966年，中国的陈景润证明了“1+2”。途径二：例外集合108，即寻找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶数。在数轴上取定大整数x，再从x往前看，寻找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶数，即例外偶数。x之前所有例外偶数的个数记为E(x)。我们希望，无论x多大，x之前只有一个例外偶数，那就是2，即只有2使得猜想是错的。这样一来，哥德巴赫猜想就等价于E(x)永远等于1。当然，直到现在还不能证明E(x)=1；但是能够证明E(x)远比x小。在x前面的偶数个数大概是x/2；如果当x趋于无穷大时，E(x)与x的比值趋于零，那就说明这些

7、例外偶数密度是零，即哥德巴赫猜想对于几乎所有的偶数成立。这就是例外集合的思路。维诺格拉多夫的三素数定理发表于1937年。第二年，在例外集合这一途径上，就同时出现了四个证明，其中包括华罗庚先生的著名定理。途径三：小变量的三素数定理，即已知奇数N可以表成三个素数之和，假如又能证明这三个素数中有一个非常小，譬如说第一个素数可以总取3，那么我们也就证明了偶数的哥德巴赫猜想。　　如果偶数的哥德巴赫猜想正确，那么奇数的猜想也正确。我们可以把这个问题反过来思考。已知奇数N可以表成三个素数之和，假如又能证明这三个素数中