高中数学 1.3导数在研究函数中的应用学案苏教版选修2-2

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1、1．3导数在研究函数中的应用一、学习内容、要求及建议知识、方法要求学习建议利用导数研究函数的单调性和极大(小)值掌握借助于导数这个工具可以很好地判别函数单调性、求单调区间，极值，最值等，通过这些量我们可以从总体上把握函数的图象的变化规律．可以通过对一些具体的函数(如常见的三次多项式函数)的研究来加以体会．二、预习指导1．预习目标(1)了解函数的单调性、函数的极大(小)值、函数的最大(小)值与导数的关系．(2)能利用导数的符号法则来解决函数的单调性问题，求函数的极值、最值等，通过这些量来研究函数的图象的变化规律．

2、2．预习提纲(1)回顾必修1中有关函数单调性以及函数最值的相关内容(必修1第34页至37页)．(2)阅读课本第28页至33页，回答下面的问题①函数的单调性与导数函数的单调性与导数的符合存在着怎样的关系呢?②函数的极值与导数：函数的极大值与极小值是怎样定义的?注：第一，极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．第二，函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．第三，极大值与极小值之间无确定

3、的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值．③函数的最值最值的概念在必修1的教材中已经给出，请回忆，并指出最值与极值的区别与联系．(3)阅读课本例题，思考下面的问题．①阅读课本第28页至29页上例1、例2和例3，总结求函数单调区间的步骤．②阅读课本第31页上例1和例2，归纳求可导函数的极值的步骤．思考：当时，能否函数在处取得极值?③阅读课本第32页与第33页上例1和例2，归纳利用导数求函数的最值步骤．3．典型例题例1求函数的单调区间．解：．令，解得．x(－∞，－3)－3(－3，3)3(3，＋∞)＋0－0＋↗极

4、大值↘极小值↗由上表可知，函数有两个单调增区间，分别是和；函数的单调减区间是．点评：(1)不能说在内函数递增，应写为在和内分别递增．(2)因为函数为连续函数，所以说函数有两个单调增区间，分别是和，函数的单调减区间是这样的说法也是对的．例2已知函数，其中．若在上是增函数，求的取值范围．分析：因为在上是增函数，所以对上恒成立，再求出的取值范围．解：根据题意，．由于在上是增函数，所以对上恒成立，即即对上恒成立．因为，所以，于是．点评：①解答过程中对恒成立，而不是恒成立，主要由于教材没有对闭区间的端点的导数下定义．由于

5、函数在区间是连续的，所以在区间上是单调增函数，等价于在区间上是单调增函数．②对已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则有可能漏解．例3求函数的值域．分析：求函数值域一般可以通过图象观察或利用不等式性质来求解，也可利用函数的单调性求出值域，本题形式结构复杂，可采用求导方法求解．解：函数的定义域由，求得，求导得．由得，即，解得．即函数在上是增函数，又此函数在x=－2处连续，所以在上是增函数．而

6、f(－2)=－1，所以函数的值域是．点评：函数y=f(x)在(a，b)上为单调函数，当在[a，b]上连续时，y=f(x)在[a，b]上也是单调函数．例4求函数的极大值和极小值．分析：利用求极值的一般方法．解：，令，解得．列表：x－202－0＋0－0＋y↘极小值－14↗极大值2↘极小值－14↗因此，当x=0时，f(x)有极大值f(0)=2；当x=±2时，f(x)有极小值f(±2)=－14．例5已知函数的极大值为13，求的值．分析：首先求，然后令求出方程根，判别f(x)在何处取得极大值，最后求．解：令，解得．列表：

7、x04－0＋0－y↘极小值↗极大值13↘所以在x=4处取得极大值，即，解得．点评：解答此题关键是判别f(x)在何处取得极大值．例6设函数在x=1和x=－1处有极值，且f(1)=－1，求a，b，c的值，并求出相应的极值．分析：此题属于逆向思维，但仍可根据函数极值的步骤来求，但要注意极值点与导数之间的关系：极值点为的根，利用这一关系借助于待定系数法求a，b，c的值．解：，是函数的极值点，则－1，1是方程的根，即有，解得b=0，c=－3a．又f(1)=－1，则a＋b＋c=－1，所以．此时，令，解得．列表：x－11＋0

8、－0＋f(x)↗极大值1↘极小值－1↗所以在x=－1处取得极大值1，即；在x=1处取得极小值－1，即．点评：本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联合，合理地实现了问题的转化，使抽象问题具体化．例7设a为实数，函数(1)求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点．分析：(1)中的极值含有参数a．(2)将函数化为．可知x取足够大的正数时，有