高中数学 1.3.1 辗转相除法与更相减损术学案 新人教a版必修3

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1、1.3.1辗转相除法与更相减损术〖学习目标〗1．通过算法的典型案例，经历设计算法解决问题的全过程，感受算法解决问题的重要作用；2．理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析,设计出这两种算法的程序框图并写出它们的算法程序；熟练运用这两种算法求最大公约数．3．进一步体会算法的基本思想，发展有条理地思考与解决问题的能力，提高逻辑思维能力．〖重点难点〗随记重点：掌握辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法．难点：对辗转相除法与更相减损术的算法的基本思想的理解.〖导学过程〗板块一：课前自学1．回顾算法的三种表述：自然语言、

2、程序框图（三种逻辑结构）、程序语言（五种基本语句）．2．回顾求两个数的最大公约数的方法．①24与30的最大公约数．②求较大的两个数210与462的最大公约数．板块二：新知探究1．问题提出：当两个数公有的质因数（如8251与6105）较大时，用原来的显然困难，须改进算法，用什么方法好？2．点拨：辗转相除法是解决上述问题的有效方法之一，此算法是欧几里得在公元前300左右首先提出的，因而，又叫欧几里得算法．3．师生探究：例1．用辗转相除法求8251与6105的最大公约数．探究1：用辗转相除法求两个正数225和135的最大公约数．探究2：辗转相除法算法

3、步骤如何？其蕴含的数学原理是什么？请画出用辗转相除法求两个数的最大大公约数的程序框图，并编写程序？4．问题提出：除了用上述算法求两个数的最大公约数之外还有没有别的算法？5．点拨：用“更相减损术”：更相减损术，是我国数学家刘徽的专著《九章算术》中记载的．更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母分子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之．翻译出来为：第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数．继续这个

4、操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数．6．师生再探：例2．用更相减损术求91与49的最大公约数．探究3:怎样用更相减损术求182与98的最大公约数?探究4:用更相减损术求80与36的最大公约数，并用辗转相除法检验结果．探究5:“更相减损术”蕴含的数学原理是什么？思考:“辗转相除法”与“更相减损术”的区别是什么？（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显．（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相

5、除余数为则得到，而更相减损术则以减数与差而得到．板块三：知识拓展问题提出：如何求三个正整数的最大公约数？例3．求三个数175、100、75的最大公约数．板块四：课堂总结1．“辗转相除法”与“更相减损术”都是求最大公约数有的效方法；2．计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显；从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到．3．求三个以上(含三个数)的数的最大公约数时，可依次通过求两个数的最大公约数与第

6、三数的最大公约数来求得．板块五：当堂反馈1．用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是（）A．2B．3C．4D．52．两个整数228和1995的最大公约数是（）A．38B．57C．76D．1713．用更相减损术求得78与36的最大公约数为()A．24B．18C．12D．64．是我国古代数学专著《》中介绍的一种求两数最大公约数的方法．5．求三个数324、243、135的最大公约数．6．求四个数84、108、132，156的最大公约数．7．利用辗转相除法求3869与6497的最大公约数与最小公倍数．板块六：分层作业：A层做1—3题

7、；B层做1—2题．1．（1）36与182的最大公约数为；（2）1978与2008的最大公约数为；（3）1624与899的最大公约数为；（4）204与85的最大公约数为；2．用辗转相除法求下列两数的最大公约数，并用更相减损术检验你的结果（1）300，2007；（2）5280，12155．3．求三个数168、56、264的最大公约数．思考题：请设计用“更相减损术”求两个数的最大大公约数的程序．板块七：课后学习反思：