1.3.1辗转相除法与更相减损术课件

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1、1.3.1算法案例一、辗转相除法与更相减损术知识探究（一）:辗转相除法思考1:18与30的最大公约数是多少？你是怎样得到的？先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来即为最大公约数.思考2:对于8251与6105这两个数，由于其公有的质因数较大，利用上述方法求最大公约数就比较困难.注意到8251=6105×1+2146，那么8251与6105这两个数的公约数和6105与2146的公约数有什么关系？2146=1813×1+333，148=37×4+0.333=1

2、48×2+37，1813=333×5+148，8251=6105×1+2146，6105=2146×2+1813，思考3:又6105=2146×2+1813，同理，6105与2146的公约数和2146与1813的公约数相等.重复上述操作，你能得到8251与6105这两个数的最大公约数吗？第一步，给定两个正整数m，n(m>n).第二步，计算m除以n所得的余数r.第三步，m=n，n=r.第四步，若r=0，则m，n的最大公约数等于m；否则，返回第二步.思考4:上述求两个正整数的最大公约数的方法称为辗转相除法或

3、欧几里得算法.一般地，用辗转相除法求两个正整数m，n的最大公约数，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？思考5:该算法的程序框图如何表示？开始输入m，n求m除以n的余数rm=nn=rr=0？是输出m结束否思考6:该程序框图对应的程序如何表述？INPUTm，nDOr=mMODnm=nn=rLOOPUNTILr=0PRINTmEND开始输入m，n求m除以n的余数rm=nn=rr=0？是输出m结束否思考7:如果用当型循环结构构造算法，则用辗转相除法求两个正整数m，n的最大公约数的程序框图和程序分别

4、如何表示？开始输入m，n求m除以n的余数rm=nn>0？否输出m结束是n=rINPUTm，nWHILEn>0r=mMODnm=nn=rWENDPRINTmEND知识探究（二）:更相减损术98-63=35，14-7=7.21-7=14，28-7=21，35-28=7，63-35=28，思考1:设两个正整数m>n，若m-n=k，则m与n的最大公约数和n与k的最大公约数相等.反复利用这个原理，可求得98与63的最大公约数为多少？第一步，给定两个正整数m，n(m>n).第二步，计算m-n所得的差k.第三步，比较

5、n与k的大小，其中大者用m表示，小者用n表示.思考2:上述求两个正整数的最大公约数的方法称为更相减损术.一般地，用更相减损术求两个正整数m，n的最大公约数，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？第四步，若m=n，则m，n的最大公约数等于m；否则，返回第二步.思考3:该算法的程序框图如何表示？开始输入m，nn>k？m=n是输出m结束m≠n？k=m-n是否n=km=k否思考4:该程序框图对应的程序如何表述？INPUTm，nWHILEm<>nk=m-nIFn>kTHENm=nn=kELSEm=kE

6、NDIFWENDPRINTmEND开始输入m，nn>k？m=n是输出m结束m≠n？k=m-n是否n=km=k否例1：分别用辗转相除法和更相减损术求168与93的最大公约数.辗转相除法：168=93×1+75，93=75×1+18，75=18×4+3，18=3×6.所以168与93的最大公约数为3更相减损术:168-93=75，93-75=18，75-18=57，57-18=39，39-18=21，21-18=3，18-3=15，15-3=12，12-3=9，9-3=6，6-3=3.例2：求325，130

7、，270三个数的最大公约数.解：因为325=130×2+65，130=65×2，所以325与130的最大公约数是65.因为270=65×4+10，65=10×6+5，10=5×2，所以65与270最大公约数是5.故325，130，270三个数的最大公约数是5.