高三数学总复习《13.2 导数的应用》学案

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1、安徽省安庆市第九中学2013届高三数学总复习《13.2导数的应用》学案●知识梳理1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤.(1)求(x).(2)确定(x)在(a,b)内符号.(3)若(x)>0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是增函数;若(x)<0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是减函数.2.用导数求多项式函数单调区间的一般步骤.(1)求(x).(2)(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间;(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.●点击双基1.函数y=x2(x-3)的减区间是A.(-∞,0)B.(2,

2、+∞)C.(0,2)D.(-2,2)解析:y′=3x2-6x,由y′<0,得00且b∈RC.a<0且b≠0D.a<0且b∈R解析:(x)=2ax,x<0且(x)<0,∴a>0且b∈R.答案:B3.已知f(x)=(x-1)2+2,g(x)=x2-1,则f[g(x)]A.在(-2,0)上递增B.在(0,2)上递增C.在(-,0)上递增D.在(0,)上递增解析:F(x)=f[g(x)]=x4-4x2+6,(x)=4x3-8x,令(x)>0,得-

3、,∴F(x)在(-,0)上递增.答案:C4.在(a,b)内(x)>0是f(x)在(a,b)内单调递增的________条件.解析:∵在(a,b)内,f(x)>0,∴f(x)在(a,b)内单调递增.答案:充分●典例剖析【例1】设f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1,试求a、b的值,并求出f(x)的单调区间.剖析:由已知x=1处有极小值-1,点(1,-1)在函数f(x)上,得方程组解之可得a、b.解:(x)=3x2-6ax+2b,由题意知即解之得a=,b=-.此时f(x)=x3-x2-x,(x)=3x2-2x-1=3(x

4、+)(x-1).当(x)>0时,x>1或x<-,当(x)<0时,-

5、)当a=-3时,f(x)=-3(x-)3+.由y=x3在R上的单调性知:a=-3时,f(x)在R上是减函数,综上,a≤-3.评述:f(x)在R上为减函数(x)≤0(x∈R).【例3】(2004年全国,21)若函数y=x3-ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)内为增函数,试求实数a的取值范围.剖析:用导数研究函数单调性,考查综合运用数学知识解决问题的能力.解:(x)=x2-ax+a-1=0得x=1或x=a-1,当a-1≤1,即a≤2时,函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,不合题意.当a-1>1,即a>2时,函数f(

6、x)在(-∞,1)上为增函数,在(1,a-1)上为减函数,在(a-1,+∞)上为增函数.依题意,当x∈(1,4)时,(x)<0,当x∈(6,+∞)时,(x)>0,∴4≤a-1≤6.∴5≤a≤7.∴a的取值范围为[5,7].评述:若本题是“函数f(x)在(1,4)上为减函数,在(4,+∞)上为增函数.”我们便知x=4两侧使函数(x)变号,因而需要讨论、探索,属于探索性问题.●闯关训练夯实基础1.已知a>0,函数f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调增函数,则a的最大值是A.0B.1C.2D.3解析:(x)=3x2-a在[1,+∞)上,(x)≥0恒

7、成立,即a≤3x2在[1,+∞)上恒成立,∴a≤3.答案:D2.已知函数f(x)=x4-4x3+10x2,则方程f(x)=0在区间[1,2]上的根有A.3个B.2个C.1个D.0个解析:(x)=4x(x2-3x+5)在[1,2]上,(x)>0,∴f(x)在[1,2]上单调递增.∴f(x)≥f(1)=7.∴f(x)=0在[1,2]上无根.答案:D3.函数f(x)的导函数y=(x)的图象如下图,则函数f(x)的单调递增区间为________.解析:在[-1,0]和[2,+∞)上,(x)≥0.答案:[-1,0]和[2,+∞)4.若函数y=-x3+bx有三

8、个单调区间,则b的取值范围是________.解析:y′=-4x2+b,若y′值有正、有负,则b>0.答案:b>05.设函

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