高三数学总复习《13.2 导数的应用》学案

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1、安徽省安庆市第九中学2013届高三数学总复习《13.2导数的应用》学案●知识梳理1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤.（1）求（x）.（2）确定（x）在（a，b）内符号.（3）若（x）>0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数；若（x）<0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数.2.用导数求多项式函数单调区间的一般步骤.（1）求（x）.（2）（x）>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（x）<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.●点击双基1.函数y=x2（x－3）的减区间是A.（－∞，0）B.（2，

2、+∞）C.（0，2）D.（－2，2）解析：y′=3x2－6x，由y′<0，得00且b∈RC.a<0且b≠0D.a<0且b∈R解析：（x）=2ax，x<0且（x）<0，∴a>0且b∈R.答案：B3.已知f（x）=（x－1）2+2，g（x）=x2－1，则f［g（x）］A.在（－2，0）上递增B.在（0，2）上递增C.在（－，0）上递增D.在（0，）上递增解析：F（x）=f［g（x）］=x4－4x2+6，（x）=4x3－8x，令（x）>0，得－

3、，∴F（x）在（－，0）上递增.答案：C4.在（a，b）内（x）>0是f（x）在（a，b）内单调递增的________条件.解析：∵在（a，b）内，f（x）>0，∴f（x）在（a，b）内单调递增.答案：充分●典例剖析【例1】设f（x）=x3－3ax2+2bx在x=1处有极小值－1，试求a、b的值，并求出f（x）的单调区间.剖析：由已知x=1处有极小值－1，点（1，－1）在函数f（x）上，得方程组解之可得a、b.解：（x）=3x2－6ax+2b，由题意知即解之得a=，b=－.此时f（x）=x3－x2－x，（x）=3x2－2x－1=3（x

4、+）（x－1）.当（x）>0时，x>1或x<－，当（x）<0时，－

5、）当a=－3时，f（x）=－3（x－）3+.由y=x3在R上的单调性知：a=－3时，f（x）在R上是减函数，综上，a≤－3.评述：f（x）在R上为减函数（x）≤0（x∈R）.【例3】（2004年全国，21）若函数y=x3－ax2+（a－1）x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a的取值范围.剖析：用导数研究函数单调性，考查综合运用数学知识解决问题的能力.解：（x）=x2－ax+a－1=0得x=1或x=a－1，当a－1≤1，即a≤2时，函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，不合题意.当a－1>1，即a>2时，函数f（

6、x）在（－∞，1）上为增函数，在（1，a－1）上为减函数，在（a－1，+∞）上为增函数.依题意，当x∈（1，4）时，（x）<0，当x∈（6，+∞）时，（x）>0，∴4≤a－1≤6.∴5≤a≤7.∴a的取值范围为［5，7］.评述：若本题是“函数f（x）在（1，4）上为减函数，在（4，+∞）上为增函数.”我们便知x=4两侧使函数（x）变号，因而需要讨论、探索，属于探索性问题.●闯关训练夯实基础1.已知a>0，函数f（x）=x3－ax在［1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是A.0B.1C.2D.3解析：（x）=3x2－a在［1，+∞)上，（x）≥0恒

7、成立，即a≤3x2在［1，+∞）上恒成立，∴a≤3.答案：D2.已知函数f（x）=x4－4x3+10x2，则方程f（x）=0在区间［1，2］上的根有A.3个B.2个C.1个D.0个解析：（x）=4x（x2－3x+5）在［1，2］上，（x）>0，∴f（x）在［1，2］上单调递增.∴f（x）≥f（1）=7.∴f（x）=0在［1，2］上无根.答案：D3.函数f（x）的导函数y=（x）的图象如下图，则函数f（x）的单调递增区间为________.解析：在［－1，0］和［2，+∞)上，（x）≥0.答案：［－1，0］和［2，+∞)4.若函数y=－x3+bx有三

8、个单调区间，则b的取值范围是________.解析：y′=－4x2+b，若y′值有正、有负，则b>0.答案：b>05.设函