高中数学 第三章 统计案例 1 回归分析学案 北师大版选修2-3

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1、§1　回归分析学习目标重点难点1.会用最小二乘法求线性回归直线方程．2．会求相关系数，并用其判断相关程度．3．会进行可线性化的回归分析，拟合函数．并根据拟合程度调整函数关系.重点：利用所给数据求线性回归直线方程．难点：函数模型的选取和确立以及函数的拟合.1．回归分析(1)函数关系是一种确定性的关系，而相关关系是一种非确定性关系．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的常用方法．(2)线性回归直线方程y＝a＋bx中，b＝＝，a＝－b.预习交流1线性回归直线方程y＝a＋bx与一次函数y＝a＋kx有何区别？提示：一次函数y＝a＋kx是y与x的确定关系，给x一个值

2、，y有唯一确定的值与之对应，而线性回归直线方程是y与x的相关关系的近似反映，两个数据x，y组成的点(x，y)可能适合线性回归直线方程，也可能不适合．2．相关系数假设两个随机变量的数据分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则变量间线性相关系数r的计算公式为：r＝＝.变量之间相关系数r的取值范围为[－1,1]，

3、r

4、值越大，误差Q越小，变量之间的线性相关程度越高，

5、r

6、值越接近于0，Q越大，变量之间的线性相关程度越低．当r＞0时，b＞0，两个变量的值总体上呈现出同时增减的趋势，此时称两个变量正相关；当r＜0时，b＜0，一个变量增加，另一个变量有减少

7、的趋势，称两个变量负相关；当r＝0时，称两个变量线性不相关．预习交流2如何由样本的相关系数r＝判定两变量的相关性？提示：当r＞0时，表明两个变量正相关，当r＜0时，表示两个变量负相关，r的绝对值越接近于1，表明两个变量线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两变量之间几乎不存在线性相关关系，通常当

8、r

9、＞0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系．3．可线性化的回归分析通过变换先将非线性函数转化成线性函数，利用最小二乘法得到线性回归方程，再通过相应变换得到非线性回归方程．预习交流3如何将函数y＝aebx转化为线性函数？提示：先对y＝aebx两边取对数得lny＝

10、lna＋bx.若记u＝lny，c＝lnA．则u＝c＋bx，就把函数y＝aebx转化成了线性函数u＝c＋bx.一、线性回归方程的求法某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量(毫克/升)与消光系数如下表：汞含量x246810消光系数y64138205285360(1)作散点图；(2)如果y与x之间具有线性相关关系，求线性回归方程．思路分析：求线性回归方程必须先对两个变量进行相关性判断，若两个变量存在较大的相关性，则可利用公式求线性回归方程的系数；若两个变量不具备相关关系，则求线性回归方程将变得毫无意义．解：(1)散点图如图．(2)由散点图可知，y与x呈相关关系，设线性

11、回归方程为：y＝bx＋A．经计算，得＝6，＝210.4，x＝220，xiyi＝7790.∴b＝＝36.95，a＝210.4－36.95×6＝－11.3.∴线性回归方程为：y＝36.95x－11.3.已知两个变量x和y之间具有线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用线性回归的方法求得回归直线分别为l1和l2，已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均数都为s，对变量y的观测数据的平均数都是t，则下列说法正确的是(　　)．A．l1与l2一定有公共点(s，t)B．l1与l2相交，但交点一定不是(s，t)C．l1与l2必定平行D．l1与l2

12、必定重合答案：A解析：由于回归直线y＝bx＋a恒过(，)点，又两人对变量x的观测数据的平均值为s，对变量y的观测数据的平均值为t，所以l1和l2恒过点(s，t)．　　作出散点图可直观地判断两个变量的相关关系．线性回归直线方程y＝bx＋a一定过样本中心(，)．二、相关系数及相关性检验现随机抽取了我校10名学生在入学考试中的数学成绩(x)与入学后的第一次考试中的数学成绩(y)，数据如下表：学生号12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771试问：这10名学生的两次数学考试成绩是否具有显著性线

13、性相关关系？思路分析：先利用相关系数计算公式r＝计算出r，当

14、r

15、越接近于1时，两个变量越具有很强的线性关系．解：由题意得：＝(120＋108＋…＋99＋108)＝107.8，＝(84＋64＋…＋57＋71)＝68，2i＝1202＋1082＋…＋992＋1082＝116584，2i＝842＋642＋…＋572＋712＝47384，iyi＝120×84＋108×64＋…＋108×71＝73796，∴r＝≈0.7506.∵0.7506接近于1，∴两次数学考试成绩有显著性线性相关关系．炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短．必须掌握钢水含碳量和

16、冶炼时间的