2019版高考数学一轮总复习 第六章 数列 题组训练37 专题研究1 递推数列的通项的求法 理

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1、题组训练37专题研究1递推数列的通项的求法1．(2018·海南三亚一模)在数列1，2，，，，…中，2是这个数列的第(　　)项．(　　)A．16　　　　　　　　　　B．24C．26D．28答案　C解析　设题中数列{an}，则a1＝1＝，a2＝2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，所以an＝.令＝2＝，解得n＝26.故选C.2．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为(　　)A．15B．16C．49D．64答案　A解析　a1＝S1＝1，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1(n≥2)．a8＝2×8－1＝15.故选A.3．已知数列

2、{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n，则a2017等于(　　)A．2017×2018B．2016×2017C．2015×2016D．2017×2017答案　B解析　累加法易知选B.4．已知数列{xn}满足x1＝1，x2＝，且＋＝(n≥2)，则xn等于(　　)A．()n－1B．()nC.D.答案　D解析　由关系式易知为首项为＝1，d＝的等差数列，＝，所以xn＝.5．已知数列{an}中a1＝1，an＝an－1＋1(n≥2)，则an＝(　　)A．2－()n－1B．()n－1－2C．2－2n－1D．2n－1答案　A解析　设an＋c＝(an－1

3、＋c)，易得c＝－2，所以an－2＝(a1－2)()n－1＝－()n－1，所以选A.6．若数列{an}的前n项和为Sn＝an－3，则这个数列的通项公式an＝(　　)A．2(n2＋n＋1)B．2·3nC．3·2nD．3n＋1答案　B解析　an＝Sn－Sn－1，可知选B.7．(2018·云南玉溪一中月考)已知正项数列{an}中，a1＝1，a2＝2，2an2＝an＋12＋an－12(n≥2)，则a6的值为(　　)A．2B．4C．8D．16答案　B解析　因为正项数列{an}中，a1＝1，a2＝2，2an2＝an＋12＋an－12(n≥2)，所以an

4、2－an－12＝an＋12－an2(n≥2)，所以数列{an2}是以1为首项，a22－a12＝3为公差的等差数列，所以an2＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以a62＝16.又因为an>0，所以a6＝4，故选B.8．(2018·华东师大等四校联考)已知数列{an}满足：a1＝，对于任意的n∈N*，an＋1＝an(1－an)，则a1413－a1314＝(　　)A．－B.C．－D.答案　D解析　根据递推公式计算得a1＝，a2＝××＝，a3＝××＝，a4＝××＝，…，可以归纳通项公式为：当n为大于1的奇数时，an＝；当n为正偶数时，an＝.故a14

5、13－a1314＝.故选D.9．(2018·湖南衡南一中段考)已知数列{an}，若a1＝2，an＋1＋an＝2n－1，则a2016＝(　　)A．2011B．2012C．2013D．2014答案　C解析　因为a1＝2，故a2＋a1＝1，即a2＝－1.又因为an＋1＋an＝2n－1，an＋an－1＝2n－3，故an＋1－an－1＝2，所以a4－a2＝2，a6－a4＝2，a8－a6＝2，…，a2016－a2014＝2，将以上1007个等式两边相加可得a2016－a2＝2×1007＝2014，所以a2006＝2014－1＝2013，故选C.10．在

6、数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则通项公式an＝________．答案　4－解析　原递推式可化为an＋1＝an＋－，则a2＝a1＋－，a3＝a2＋－，a4＝a3＋－，…，an＝an－1＋－.逐项相加，得an＝a1＋1－.又a1＝3，故an＝4－.11．已知数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．答案　an＝解析　由已知，可得当n≥1时，an＋1＝.两边取倒数，得＝＝＋3.即－＝3，所以{}是一个首项为＝1，公差为3的等差数列．则其通项公式为＝＋(n－1)×d＝1＋(n－1)

7、×3＝3n－2.所以数列{an}的通项公式为an＝.12．在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，有an＝3an－1＋2，则an＝________．答案　2·3n－1－1解析　设an＋t＝3(an－1＋t)，则an＝3an－1＋2t.∴t＝1，于是an＋1＝3(an－1＋1)．∴{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，以3为公比的等比数列．∴an＝2·3n－1－1.13．在数列{an}中，a1＝2，an＝2an－1＋2n＋1(n≥2)，则an＝________．答案　(2n－1)·2n解析　∵a1＝2，an＝2an－1＋2n＋1(n≥2)，∴＝

8、＋2.令bn＝，则bn－bn－1＝2(n≥2)，b1＝1.∴bn＝1＋(n－1)·2＝2n－1，则an＝(2n－1)·2n.14．已知数列{an}的首项a1＝，其前n项和Sn＝n