高三数学二轮复习 8-8 圆锥曲线的综合问题学案

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1、第八章第8讲　圆锥曲线的综合问题学习目标：1．能解决直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系等问题．2.理解数形结合的思想．3.了解圆锥曲线的简单应用.知识要点：1个必背口诀——如何解决圆锥曲线的综合问题联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘．2种必会方法——有关弦长和弦中点问题的求解(1)涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”，采用设而不求，利用弦长公式计算弦长．求解时，不要忽略判别式大于零．(2)涉及求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标，弦中点坐标和弦所在直线的斜率联系起来，相互转化．3个特别提醒——圆锥

2、曲线中的三个注意事项(1)直线l与双曲线有且只有一个公共点⇔或l与渐近线平行．(2)直线l与抛物线有且只有一个公共点⇔或l与对称轴平行或重合．(3)“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数.考点1　直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即消去y后得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋

3、bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是　直线与圆锥曲线只有一个公共点时，是否是直线与圆锥曲线相切？　(1)已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a等于.(2)直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的交点的个数为.考点2　圆锥曲线的弦长1.圆锥曲线的弦长直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的

4、弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．2.圆锥曲线的弦长的计算设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

5、AB

6、＝＝

7、x1－x2

8、＝·

9、y1－y2

10、.(抛物线的焦点弦长

11、AB

12、＝x1＋x2＋p＝，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．　(1)已知F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若

13、F2A

14、＋

15、F2B

16、＝12，则

17、AB

18、＝.(2)设抛物线y2＝16x上一点P到x轴的距离为12，则点P与焦点F的距离

19、PF

20、＝.(3)直线y＝x＋1与2x2－y2＝1相交于A，B两点，则

21、AB

22、＝.(4)椭圆＋＝

23、1中过点P(1,1)的弦恰好被点P平分，则此弦所在直线方程是.考向一　典例1　[2014·盐城模拟]已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上．若右焦点F到直线x－y＋2＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线y＝kx＋m(k≠0)与椭圆相交于不同的两点M、N.当

24、AM

25、＝

26、AN

27、时，求m的取值范围．　本例条件不变，若直线y＝kx＋1与椭圆相交于不同的两点M、N，且

28、MN

29、＝2，求直线的斜率k.触类旁通：判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法圆锥曲线中最值、范围的求解方法与圆锥曲线相关的最值、范围问题综合性较强，解决的方法：一是由题目中的限制条件求范围，如直线与圆锥曲线的位置关

30、系中Δ的范围，方程中变量的范围，角度的大小等；二是将要讨论的几何量如长度、面积等用参数表示出来，再对表达式进行讨论，应用不等式、三角函数等知识求最值，在解题过程中注意向量、不等式的应用．跟踪训练1：1.椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为、离心率为，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A、B，且＝3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求m的取值范围．考向二　典例2　[2013·陕西高考]已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠P

31、BQ的角平分线，证明直线l过定点．触类旁通：求过一点的圆的切线方程的方法圆锥曲线中定值、定点问题的求解方法圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长、短轴，双曲线的虚、实轴，抛物线的焦参数等．定值问题的求解与证明类似，在求定值之前，已经知道定值的结果(题中未告知，可用特殊值探路求之)，解答这类题要大胆设参，运算推理，到最后参数必清，定值显现．跟踪训练2：[2013·安徽高考]设椭圆E