高中数学 第一章 计数原理 5 二项式定理学案 北师大版选修2-3

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1、§5二项式定理学习目标重点难点1.能用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关问题．3．会用二项式定理找等量关系.重点：二项式定理．难点：二项式定理的应用.1．二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn.这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为(a＋b)n的二项展开式．(a＋b)n的二项展开式共有n＋1项，其中各项的系数C(r＝0,1,2，…，n)称为二项式系数，Can－rbr称为二项展开式的第r＋1项，又称为二项式通项．在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式：(1＋

2、x)n＝1＋Cx＋Cx2＋…＋Cxr＋…＋xn.预习交流1如何记忆二项式定理？提示：记忆二项式定理的关键是记住二项式的通项，Tr＋1＝Can－rbr，其中Tr＋1为二项展开式的第r＋1项，a，b的指数和为n.2．二项式系数的性质C＝C＋C；C＝C；C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n.预习交流2如何证明C－C＋C－C＋…＋(－1)n＋1C＝0.提示：令二项展开式中的a＝1，b＝－1，即可得到要证明的结论．1．二项式定理求4的展开式．思路分析：直接利用二项式定理，注意每一项都符合二项展开式的通项公式，也可先将原式变形后再展开．解：方法1：4＝C

3、(3)4·0＋C(3)3·1＋C(3)22＋C(3)·3＋C(3)0·4＝81x2＋108x＋54＋＋.方法2：4＝＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋＋.求二项式10的展开式中的常数项．解：设第r＋1项为常数项，则Tr＋1＝C·(x2)10－r·r＝C··r(r＝0,1,2，…，10)，令20－r＝0，得r＝8，所以第9项为常数项，常数项为C×8＝.利用二项展开式的通项公式求二项展开式中具有某种特性的项是一类典型的问题，通常的解法就是确定通项公式中的r的值或取值范围．但需注意二项式系数与项的系

4、数及项的区别与联系．2．二项式系数的性质如果(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，那么a1＋a2＋…＋a7的值等于()．A．－2B．－1C．1D．2思路分析：比较展开式与a1＋a2＋…＋a7的结构，会发现当x＝1时，含有a1＋a2＋…＋a7，即(1－2)7＝a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1.从而只要求出a0＝1即可．答案：A解析：令x＝0，得(1－2×0)7＝a0，∴a0＝1.再令x＝1，则有(1－2×1)7＝a0＋a1＋a2＋…＋a7，∴a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1.∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－1－a0＝－1

5、－1＝－2.设(1－2x)2010＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2010x2010(x∈R)．(1)求a1＋a3＋a5＋…＋a2009的值．(2)求a0＋a1＋a2＋…＋a2010的值．解：(1)令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a2010＝32010.①令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2010＝(－1)2010＝1.②由①②，得2(a1＋a3＋a5＋…＋a2009)＝1－32010，∴a1＋a3＋a5＋…＋a2009＝.(2)∵Tr＋1＝C·12010－r·(－2x)r＝(－1)r·C·(2x)r，∴a2k－1＜

6、0(k∈N＋)，a2k＞0(k∈N＋)．∴a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2010＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2010＝32010.求展开式的系数和，关键是字母赋值，赋值的选择需根据所求的展开式系数和特征来定．一般地，多项式f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn的各项系数和为f(1)，奇次项系数和为，偶次项系数和为.1.n(n∈N＋)的展开式中，若存在常数项，则n的最小值为()．A．3B．5C．8D．10答案：B解析：Tr＋1＝C(2x3)n－rr＝2n－r·C·x3n－5r.令3n－5r＝0，∵0≤r≤n，r，n∈Z，∴n

7、的最小值为5.2．(1＋2)3(1－)5的展开式中x的系数是()．A．－4B．－2C．2D．4答案：C解析：(1＋2)3(1－)5＝(1＋6＋12x＋8x)(1－)5，故(1＋2)3(1－)5的展开式中含x的项为1×C(－)3＋12xC＝－10x＋12x＝2x.∴x的系数为2.3.5(x∈R)展开式中x2的系数为10，则实数a等于()．A．－1B．C．1D．2答案：D解析：Cxr5－r＝Ca5－rx2r－5，令2r－5＝3，∴r＝4.由C·a＝10，得a＝2.4．在20的展开式中，系数是有理数的项共有__________项．答案：4解

8、析：Tr＋1＝C(x)20－rr＝r·()20－r·C·x20－r.∵系数为有理数，∴()r与2均为有理数．∴r能被2整除，且20－r能被3整除．∴r为偶数，20－r是3的倍数，0≤r≤20，∴r＝2,8,14,20.5