《推理与证明》word版

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1、第十七章推理与证明第1讲合情推理和演绎推理★热点考点题型探析★考点1合情推理题型1用归纳推理发现规律[例1]通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。；；；【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性,（2）观察角的“共性”[解析]猜想：证明：左边===右边【名师指引】（1）先猜后证是一种常见题型（2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性）[例2](09深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个

2、蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数.则=_____;=___________.【解题思路】找出的关系式[解析]【名师指引】处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系【新题导练】1.(2008佛山二模文、理)对大于或等于的自然数的次方幂有如下分解方式：根据上述分解规律，则,若的分解中最小的数是73，则用心爱心专心的值为___.[解析]的分解中，最小的数依次为3，7，13，…，，…，由得2.(2008惠州调研二理)函数由下表定义：若，，，则4．[解析]，，，，，，点评：本题为循环型3.(2008深圳调研)图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、

3、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第个图形包含个“福娃迎迎”，则　　；　　　　　　　　．（答案用数字或的解析式表示）[解析]4.(2008揭阳一模)设,则=（）A.　　　B.　　C.　　D.[解析]，，，，，，=题型2用类比推理猜想新的命题[例1](2008韶关调研)已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______.【解题思路】从方法的类比入手[解析]原问题的解法为等面积法，即，类比问题的解法应为等体积法，即正四面体的内切球的半径是高用心爱心专心【名师指引】（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比（2

4、）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等[例2]在中,若,则,用类比的方法,猜想三棱锥的类似性质,并证明你的猜想【解题思路】考虑两条直角边互相垂直如何类比到空间以及两条直角边与斜边所成的角如何类比到空间[解析]由平面类比到空间,有如下猜想:“在三棱锥中，三个侧面两两垂直，且与底面所成的角分别为，则”证明：设在平面的射影为，延长交于，记由得，从而，又，，即【名师指引】（1）找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积，平面上的角对应空间角等等；（2）找对应元素的对应关系，如：两条

5、边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等【新题导练】5.(2008深圳二模文)现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为．类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为　　　．[解析]解法的类比（特殊化），易得两个正方体重叠部分的体积为6.(2008梅州一模)已知的三边长为，内切圆半径为（用），则；类比这一结论有：若三棱锥的内切球半径为，则三棱锥体积[解析]7.(2008届广东省东莞市高三理科数学高考模拟题（二）)在平面直角坐标

6、系中，直线一般方程为，圆心在的圆的一般方程为用心爱心专心；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为________________,球心在的球的一般方程为_______________________.[解析]；8.对于一元二次方程，有以下正确命题：如果系数和都是非零实数，方程和在复数集上的解集分别是和，则“”是“”的充分必要条件．试对两个一元二次不等式的解集写出类似的结果，并加以证明．解：（3）如果系数和都是非零实数，不等式和的解集分别是和，则“”是“”的既不充分也不必要条件．可以举反例加以说明．9.已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的差都为同

7、一个常数，那么这个数叫做等差数列，这个常数叫做该数列的公差．类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义：；已知数列是等和数列，且，公和为，那么的值为____________．这个数列的前项和的计算公式为_____________________________________．[解析]在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和；；考点2演绎推理题型:利用“三段论”进行推理[