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1、第3章Matlab在微积分学中的应用在这一章里，我们将利用MATLAB解决高等数学中的许多计算问题。我们还将学会建立一般的函数在一定程度上解决理论上的计算问题。3.1极限数学中的极限问题类型大概有：极限数学形式的例子：数列的极限有：一元函数的极限有：二元函数的极限有：以上是数学中出现的不同形式的极限。但求极限的命令在MATLAB中是相同的，都由命令limit来完成。其常用形式有：limit(F,x,a)计算limit(F,a)符号表达式F中由命令findsym(F)返回独立的变量v，计算limit(F)符号确定同上，设为v,计算l
2、imit(F,x,a,’right’)计算limit(F,x,a,’left’)计算注意：求一极限的基本步骤为：1.把数学形式的表达式转化为Matlab的表达式。当然表达式由多个符号组成，并且符号都不是代表某一具体的数值，其值是一个变动的量，即所谓的符号变量。为此，我们要建立一些必要的符号对象，如：符号变量，符号表达式等。2.使用求极限的命令limit来对符号表达式进行计算，其中要指明是对哪一个符号变量做极限运算；若不指定，则符号变量由命令findsym(F)来指定。433.要指定符号变量的“极限点”以及趋于“极限点”的方向；若不
3、指定“极限点”的值，则缺省地认为是0点。4.总之一点，极限作的都是符号运算！例3-1求解：>>symsnmxf=(6*n^2-n+1)/(n^3-n^2+2)g=((1+m*x)^n-(1+n*x)^m)/x^2h=(sqrt(1+x)-2)/(x-3)>>lim_f=limit(f,n,inf)>>lim_g=limit(g,x,0)%或lim_g=limit(g)>>lim_h=limit(h,x,3,'right')运算结果是：lim_f=0lim_g=-1/2*m^2*n+1/2*n^2*mlim_h=1/4例3-2求由于
4、求二重极限在数学上没有方法可循，因此在Matlab中还没有一个统一的命令能求一个一般的二重极限，只能求在理论上已经证明与路径无关的函数，即把二重极限化成二次极限来计算：解：>>symsxy>>f_xy='log(x+exp(y))/sqrt(x^2+y^2)';>>lim_f_xy=limit(limit(f_xy,x,1),y,0)运行的结果是：lim_f_xy=log(2)3.2微积分高等数学中的微积分是大学数学中的重要部分，内容庞杂，应用广泛，归纳起来有：函数的导数，函数的积分，泰勒展式，-函数，欧拉函数等。下面先讲函数的导
5、数。3.2.1函数的导数数学中的导数类型大概有：43导数例如：一元函数的导数：y=esinx-7cosx+5x,y=二元函数的导数：z=arctan,求，z=ln(复合函数的导数：y=f(x)=a+bx+f(x)=隐函数的导数：arctgF(x,x+y,x+y+z)=0,求。数学上虽然有导数与偏导数之分，但它们在Matlab中有统一的命令diff。其常使用形式为：diff(f,v)计算diff(f,v,n)计算diff(f)用命令findsym找出表达式f中的独立变量，设为v,即v=findsym(F),计算43diff(f,n)
6、独立变量确定同上，设为v,计算例3-3已知y=计算解：>>x=sym('x')>>y=(sqrt(x)+cos(x))/(x-1)-7*x^2;>>Dy=diff(y)>>D3y=diff(y,3)运行结果为：Dy=(1/2/x^(1/2)-sin(x))/(x-1)-(x^(1/2)+cos(x))/(x-1)^2-14*xD3y=(3/8/x^(5/2)+sin(x))/(x-1)-3*(-1/4/x^(3/2)-cos(x))/(x-1)^2+6*(1/2/x^(1/2)-sin(x))/(x-1)^3-6*(x^(1/2)
7、+cos(x))/(x-1)^4例3-4已知z=ln(。解：>>x=sym('x');y=sym('y');z=log(sqrt(x)+sqrt(y))；result=x*diff(z,x)+y*diff(z,y)；simple(result)计算的结果为：result=1/2例3-5已知y=ln(x),x=t。解：在复合函数的计算中，一定要注意变量赋值的先后顺序>>symstx>>x=t^2*sin(t);>>y=log(x^3);>>dydt=diff(y,t)>>d2yd2t=diff(dydt,t)/diff(x,t)计算
8、结果为：dydt=(6*t^5*sin(t)^3+3*t^6*sin(t)^2*cos(t))/t^6/sin(t)^3d2yd2t=((30*t^4*sin(t)^3+36*t^5*sin(t)^2*cos(t)+6*t^6*sin(t)*cos
