《微分几何基础ch》word版

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1、微分几何基础微积分的基本定理大概地说，微分就是把曲线用它的切线来研究它的性质，知道了曲线每一点切线的性质，也就知道了曲线的总体性质。这相当于说把函数线性化。线性化后，可以加减乘除，可以计算，并得到一个数来。数学要是能得到一个数来，总是很要紧的。积分大概的说，是计算面积。微分是积分的反运算。如果，则。这就是微分与积分的基本关系，或叫微积分基本定理。多元微积分2维积分情形就有了区域，我们叫它，那么它的边界叫，所以积分的一个自然推广是一个2重积分。一维积分是把x分成小段，然后取小段再乘上这个函数，求一个和。在2重积分的时候，方法也是把区

2、域分成小块，然后取每一小块的面积，在其上函数值乘上它的面积，然后求它的和。很不得了的，假使函数好的话，无论你如何圈你的区域，极限是一样的，这极限就是2重积分：在2维的时候，甚至高维的时候，一个重要的现象是，我们现在有2个变数x,y,换变数怎么样？换变数是微积分很重要的方法，很多问题看你的变数选择是否适当，有时换变数，问题就立即简单化了。现在换变数：其中，是另外一组坐标。我们发现一个事实，在高维的时候，微分的乘法，我们写成。在多维情况下，微积分有一个巨大的进步，就是引进外代数和外微分。一维情况下，变量微分是，二维情况下，我们引进一个

3、乘法，并假定这个乘法是反对称的如果这样定义，则易得，因为。这时的变数由变为，因为，所以就没有高次的东西了。这样得到的代数是外代数。是微积分上最微妙的观点。（当一个大家说某个东西很妙时，你一定得反复地深入地去体会其中妙味！）这个代数很妙的，有一个立刻的结论，换变数公式为：假使我们的微分是偏微分，所以现在用外乘法一乘，，而因为乘法是反对称的，所以是刚好乘以的雅可比：，这个符号是雅可比，是四个偏微分所成的行列式，所以这个刚巧是我们重积分变数的一个关系。我们知道重积分是要换变数的话，它应该乘上雅可比。所以这个结论是，对重积分的Integr

4、al可看成是外代数的多项式，那么换代数就自然对了。这里有点微妙的地方，因为通常，你要证明换变数的公式的时候，假定雅可比是正的，不然的话，乘上雅可比的绝对值，使它是正的。这个是高维几何微妙的东西，就是空间有个向（Orietation），你转的时候，有2个相反转的方向，转的时候，假使改了方向，雅可比是负值。因此我们一个结论是多重积分的Integral应该是一个外代数多项式，是的多项式，乘法是反对称，这样换变数完全可以对的，当然我只做了2维例子。高维是很明显的，同样的，外乘法是妙得很呐，是不会有高次的，所以比较简单，平方一下就是0。4．

5、外微分格林定理说：假使你有一个区域，在边界上的积分可以变为区域上的积分。是一个一重积分和二重积分的关系，这个关系很重要。上面公式，形式上是把一个一次微分式变为2次微分式。对微分符号，不要太在意它的意义，只管它的形式。你可以把它当成x一样处理，如可以看成是一个微分多项式，就象，没什么特殊性。当然也可以对它们组成的多项式再微分，如叫外微分（Exteriordifferentialealculus）。外微分很简单，假设有，它的微分就是微分它的系数，也就是微分函数。A与B是x,y的函数，所以就微分A，B。A的微分就是，B的微分就是，可是因

6、为：所以：所以，格林公式表达的实际上是外微分。由此可以看出，外微分是很妙的东西，因此你可以把积分号丢掉，就说我们拿造一个外代数，对这个外代数有个外微分。外微分很简单，就是假使微分各项的时候，其实是对每项系数微分，结果我得到一个多项式，这个多项式的次数高一个。作为函数就变为一次微分式了，所以次数高一次，因此原来k次的话，得到一个k+1次的微分式。格林公式把曲线微分的微分式变为区域微分式，一重积分变为二重微分。因为这里有一个外代数，所以把这个微分式乘起来，用一个外乘法。把k次的外微分式变为k+1次的微分式，这样实际把这个外微分式中间给

7、了一个新的结构，可以微分，这个微分跟普通微分不一样，它是把k次变为k+1次。这个外微分有个奇怪的现象，就是用两次以后等于0。证明这一点，对任何一个k次微分式，微分一次变为k+1次，微分两次变为k+2次微分式，它一定是0。D是一个外微分，是对外代数的多项式的一个运算，这个运算运用两次就等于0了，这是一个了不得的关系。因为几何上讲，假使你有一个区域，你取这个区域的边界，再取这个区域的边界，就没有边界了。如你取的边界是整个球，再取这个边界的边界，没有了。这个几何性质跟外微分的性质是对偶的。求两次边界一定等于0，这是几何性质，求外微分两次

8、等于0，是个分析的性质。这两具东西不是两个互不相关的东西，是完全对偶的。这是一个了不得的几何关系，了不得的数学上的关系，妙得不得了，因为求边界是一个几何问题，更是一个整体问题，一定要拿整个区域乘上边界。但是，求外微分是个分析问题，是个局部问题，要外