《导数和函数》word版

《《导数和函数》word版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、导数和函数1.(本题满分14分)已知函数132f(x)xaxbx,且f(1)03（1）试用含a的代数式表示b；（2）求f(x)的单调区间.1.:2Ⅰfxx2axb依题意,得f112ab0,-------2分故b2a1.------4分132Ⅱ由Ⅰ得fxxax2a1x,故32fxx2ax2a1x1x2a1,令fx0,则x1或x12a,----6分1当a>1时,12a<1,当x变化时,fx与fx的变化如下表:x

2、(,12a)(12a,1)(1,)fx+-+fx单调递单调递单调递增减增由此得,函数fx的单调增区间为(,12a)和(1,),单调减区间为(12a,1).2当a1时,12a1.此时fx≥0恒成立,且仅在x1处fx0,故函数fx的单调增区间为R.3当a<1时,12a>1,同理可得函数fx的单调增区间为，-1和12a，,单调减区间为1，12a.---------9分综上:当a>1时,函数fx的单调增区间为(,12a)和(

3、1,),单调减区间为(12a,1);当a1时,函数fx的单调增区间为R;当a<1时,函数fx的单调增区间为，-1和12a，,单调减区间为1，12a…………14分axf(x)2、（满分14分）已知函数x2b在x1处取得极值2.（I）求函数f(x)的解析式；（II）m满足什么条件时，区间(m,2m1)为函数f(x)的单调增区间？（III）若axP(x,y)为f(x)002图像上的任意一点，xbax直线l与f(x)2的图像切于P点，求直xb线l的斜率的取值范围2（本小题满分14分）2

4、a(xb)ax(2x)f'(x)解：（I）求导22(xb)，…2分又函数f(x)在x1处取得极值2.，f'(1)0,f(1)2,……3分a44xf(x)可得b1，求出2…5分x14(x1)(x1)f'(x)（II）因为(x21)2，…6分4xf(x)可得x21的单调增区间为[1,1]。……7分若(m,2m1)为函数f(x)的单调增区间，m1,2m11,则有……8分解得2m1m,1m0……9分即m(1,0]时，(m,2m1)为函数f(x)的单调增区间。

5、……10分（III）利用导数几何意义构建函数关系，直线l的斜率为224(x1)8x2100kf'(x)4[]022222(x1)(x1)x1000，……12分1令2t,t(0,1]l的斜率x1，则直线02k4(2tt),t(0,1],。……13分1k[,4]……14分23（本小题满分14分）已知函数32f(x)xaxbxc的图象如图所示，与直线y0在原点处相切，且此切线与函数图像所围区域（图中阴影部分）的面27积为。（1）求函数yf(x)的解析式；4（2）设m1，如果过点(m,n)可作函

6、数yf(x)的三条切线，求证：13mnf(m)。3（本小题满分14分）解：（1）由图可知f(0)0,c0…1分2f'(x)3x2axb,f'(x)0,b0又444a32aaa27S(xax)dx034124…4分a3（由图像可知a3舍去），…5分32f(x)x3x……6分2（2）由（1）可知f'(x)3x6x，……7分设函数在点(t,f(t))处的切线方程为232y(3t6t)(xt)(t3t)。……8分若有一条切线过点(m,n)，则存在实数t，232使得n(3

7、t6t)(mt)(t3t)，32即2t(3m3)t6mtn0。…9分32令g(t)2t(3m3)t6mtn，则2g'(t)6t6(m1)t6m6(tm)(t1)………10分m1,当t1或tm时，g'(x)0当0tm时，g'(x)0g(t)在t1处取得极大值g(1)3mn1，在tm处取得极小值g(m)nf(m)。……11分若过点(m,n)可作函数yf(x)的三条32切线，则方程2t(3m3)t6mtn0有三个相异的实根，g(1)3mn10,

8、g(m)nf(m)0,…13分13mnf(m)……14分