高中数学 第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(第2课时)导学案 新人教a版必修4

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1、第2课时　三角函数线1.了解三角函数线的定义和意义.2.会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.掌握三角函数线的简单应用.三角函数线(1)有向线段：带有　　的线段叫做有向线段.(2)定义：如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P(角α的顶点与原点重合，角α的始边与x轴的非负半轴重合).过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点，这样就有sinα＝　　，cosα＝　，tanα＝　.单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的　　线、　　线、　　线，统称为三角函数线.①三角函数线的位置：正弦线为α

2、的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中正弦线和余弦线在单位圆内，正切线在单位圆外.②三角函数线的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向单位圆与α的终边(或反向延长线)的交点.③三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴正方向或y轴正方向同向的为正值，与x轴正方向或y轴正方向反向的为负值.④三角函数线的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后.⑤三角函数线的意义：三角函数线的方向表示三角函数值的符号；三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值.【做一做

3、1－1】如图所示，P是角α的终边与单位圆的交点，PM⊥x轴于M，AT和A′T′均是单位圆的切线，则角α的(　　)A.正弦线是PM，正切线是A′T′B.正弦线是MP，正切线是A′T′C.正弦线是MP，正切线是ATD.正弦线是PM，正切线是AT【做一做1－2】不论角α的终边位置如何，在单位圆中作三角函数线时，下列说法正确的是(　　)A.总能分别作出正弦线、余弦线、正切线B.总能分别作出正弦线、余弦线、正切线，但可能不只一条C.正弦线、余弦线、正切线都可能不存在D.正弦线、余弦线总存在，但正切线不一定存在答案：(1)方向　(2)MP　OM　AT　正弦　余弦　正切【做一做1－1

4、】C【做一做1－2】D三角函数线的应用剖析：三角函数线是三角函数值的直观表达形式，从三角函数线的方向可看出三角函数值的符号，从三角函数线的长度可看出三角函数值的绝对值大小.三角函数线的主要作用是解三角方程和不等式、证明三角不等式、求函数定义域及比较大小，同时它也是以后画三角函数图象的基础.题型一解三角方程【例1】在单位圆中画出满足sinα＝的角α的终边，并写出α组成的集合.分析：先作出直线y＝与单位圆的交点P，Q，再连接OP，OQ即得.反思：形如sinα＝m，cosα＝n，tanα＝t的等式，可借助于三角函数线写出α组成的集合.其步骤是：①在单位圆中画出α的终边；②在［

5、0,2π)内找出满足条件的角；③用终边相同的角的集合写出.题型二解简单的三角不等式【例2】解不等式sinα≥－.分析：由于sin＝sinπ＝－，则在坐标系中画出－和π，确定α的终边位置.反思：解简单的三角不等式时，常借助于三角函数线，转化为终边在某区域内的角的范围.如本题转化为求终边在优弧对应的扇形区域内角的范围.题型三易错辨析易错点　错解函数的定义域【例3】求函数y＝＋lg(2sinx＋)的定义域.错解：要使函数有意义，则需满足1＋2cosx≥0且2sinx＋＞0，即cosx≥－，且sinx＞－.所以2kπ＋≤x≤2kπ＋且2kπ－＜x＜2kπ＋，其中k∈Z.其交集为

6、空集，故无定义域.错因分析：因两个不等式中的k各自独立，因此上述两集合是有公共部分的，如图所示.反思：解三角不等式组时，先解每个三角不等式，再取它们的交集.取交集时，要注意各自解集中k的独立性.答案：【例1】解：如图，作直线y＝交单位圆于点P，Q，连接OP，OQ，则射线OP，OQ为角α的终边．由于sin＝，sin＝，则OP是的终边，OQ是的终边．所以α＝＋2kπ或α＝＋2kπ，k∈Z.则α组成的集合为S＝.【例2】解：如图所示，作直线y＝－交单位圆于A，B两点，则∠xOA＝，∠xOB＝－.过在直线AB上方的圆弧上任一点P作PM⊥x轴于M，则MP＝sinα.则α的终边不能

7、与直线AB下方的圆弧有交点，则有2kπ－≤α≤2kπ＋(k∈Z)．即原不等式的解集是.【例3】正解：要使函数有意义，则需同时满足1＋2cosx≥0且2sinx＋＞0，即cosx≥－，且sinx＞－.由cosx≥－，知2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.由sinx＞－，知2nπ－＜x＜2nπ＋，n∈Z，∴x的取值范围是{x

8、2kπ－＜x≤2kπ＋，k∈Z}．1．下列各式正确的是(　　)A.sin1＞B.sin1＜C.sin1＝D.sin1≥2．已知tanx＝1，则x＝________.3．不等式cosx＞0的解集是________.4．在单位圆