a以矩形的面积概念过渡至圆的面积概念来阐述

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1、GuidelineofModernanalysisforACM078Date：20070912PartI：BriefIntroductiontoModernAnalysisA．以矩形的面积概念过渡至圆的面积概念来阐述1．洞察一切初等的有限的直观的数学2．用开放的心灵体味“分析数学是一门取极限的学问”B．中学数学物理的通病：给出具体的函数表达式有碍数学物理的真正发展PartII：数系的发展1．数系的扩展源于新运算的需要2．实数系的建立源于极限运算的需要RichardDedekind&GeorgCantor1872

2、技巧：基于算术基本定理来判定某些代数方程在有理数集中无解PartIII：集合的概念1．枚举法2．描述法相关阅读材料1．陈纪修於崇华金路：数学分析PartIV：数理逻辑初步相关阅读材料1．谢惠民恽自求易法槐钱定边：数学分析习题课讲义2．ManfredStoll：IntroductiontoRealAnalysis如何看待教材中某些独具匠心的证明题的处理1．尽量读透一个证明的要义在何处（whyandwhynotaremoreimportantthanjustfollowingtherigorousproof）2．如

3、果教材中的证明过于富于技巧大家不妨换个角度用自己的理解去证明（Everyoneshouldhaveapersonalviewpoint）GuidelineofModernanalysisforACM078Date20070914中心问题：如何在十进制实数系中引入四则运算？今天将要解决的问题：1．在实数系中引入加法减法运算2．解释如何理解作为“数”来看2.999…与3.000…是一致的Part1：十进制实数的表示及其全体的集合Part2：实数的序关系Part3：实数的加法运算相关阅读材料：华罗庚：高等数学引论：P

4、age5Part4：实数的取负运算Part5：实数的减法运算Part6：实数系的真正创立Part7：实数的绝对值运算Part8：实数的三进制表示法补充思考题：如何实现数在不同进制之间的转换？相关阅读材料：ManfredStoll：IntroductiontoRealAnalysis：Pages30~34依旧需要解决的问题：如何在十进制实数系中引入乘法除法运算？GuidelineofModernanalysisforACM078Date20070917如何在实数系中引入乘法除法运算依然是目前亟须解决的中心问题1．

5、将十进制表示法革命到底：类似定义加法运算去定义乘法运算（Youcanhaveatry）2．另辟蹊径：单调有界数列必有极限1.3数列和收敛数列例：1，1/2，1/3，1/4，1/5，1/6，1/7，…例：0.9，0.99，0.999，0.9999，0.99999，…中心含义：指标越来越大误差越来越小收敛数列的概念（为定义数列极限而引进的ε-N语言是由德国著名数学家KarlWeierstrass所创立。Weierstrass是一位大器晚成的数学家，他与Cauchy，Bolzano一道为推动分析严密化运动做出了卓越的

6、贡献）1．第一步确立误差标准2．第二步确立达到误差标准所需的起始指标例：1，1/2，1/3，1/4，1/5，1/6，1/7，…例：1，1/2，1/4，1/8，1/16，1/32，1/64，…1．确立误差标准2．确立达到误差标准所需的最小起始指标（这是更加深入的收敛速度问题）最常见的误差标准：c/log_an(a>1)&c/n^α(α>0)&c/a^n(a>1)发散数列的精确定义（写出原命题的否命题在初学阶段作为更好理解数理逻辑的有效途径应该多尝试，这样的习惯对于解证明题是有帮助的）数列{a_n}以a为极限v.s

7、.数列{a_n}不以a为极限数列{a_n}是收敛数列v.s.数列{a_n}是发散数列1.4收敛数列的性质定理：收敛数列的极限是唯一的概念：有上界，有下界，有界定理：收敛数列是有界的1.6单调数列概念：单调数列定理：单调有界数列是收敛数列（实数系基本定理）（实数系具有完备性）应用：1．乘法除法的引入2．幂函数的引入3．对数函数的引入GuidelineofModernanalysisforACM078Dates20070919&20070921实数系基本定理之一：单调有界数列是收敛数列0．{x_n∈B}单调有上界数

8、列必有落于B中的极限（缜密的逻辑）1．乘法除法的引入2．幂函数以及对数函数的引入PartI：最常见的误差标准：c/log_an(a>1)&c/n^α(α>0)&c/a^n(a>1)例1：1/log_10nGeneralcases：c/log_an(a>1)例2：1/nGeneralcases：c/n^α(α>0)例3：1/2^nGeneralcases：c/a^n(a>1)例4：(lo