高中数学 2.5平面向量的应用举例学案 新人教a版必修4 (2)

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1、2.5向量的应用一、学习内容、要求及建议知识、方法要求建议向量是一种处理几何、物理等问题的工具了解结合实际背景解决问题二、预习指导1.预习目标(1)了解向量的加法与物理中力的合成、速度的合成之间的联系，经历用向量方法解决物理中有关问题的过程；(2)体会向量是一种数学工具，掌握用向量方法解决某些简单的几何问题，发展运算能力和解决实际问题的能力．　2.预习提纲(1)物理中，如果力F与物体位移s的夹角为，那么F所做的功W=．(2)证明直线平行或三点共线常用向量共线定理；证明垂直常证两个向量的数量积为0；求向量的夹角常用公式cos==．(3)思考：向量可以解决哪些常见的几何问

2、题和物理问题？解决这些问题的基本步骤是什么？3.典型例题(1)利用向量解决物理中有关的力、速度问题向量是既有大小，又有方向的量，物理中的很多量都是向量，如力、速度、加速度等.用向量解决物理问题的方法：把物理问题转化为数学问题，抽象成数学模型，对这个数学模型进行研究，进而解释相关物理现象.4.自我检测(1)一质点受到平面上的三个力(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为．(2)已知，，向量与垂直，则实数的值为．(3)在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC，已知点A(－2，0)，B(6，8)，C(8,6

3、),则D点的坐标为___________.(4)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(-1,3)，若点C满足，其中，∈R且+=1，则点C的轨迹方程为_______.(5)一艘船距对岸km处，以2km/h的速度向垂直于岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速.三、课后巩固练习Ａ组1．已知向量与的夹角为，则等于　　　　　．2．已知=(3，λ)，=(4，-3)，若与的夹角为锐角，则λ的取值范围为_______．3．若A(0，2)，B(3，1)，C(-2，k)三点共线，则向量＝+的模为　　　　　．4．设点是正边形的中心，则在下列各结论

4、中：①；②③++…+=；④=0(i=1，2，…，n)．正确的共有　　　　　个．5．已知向量=(2，3)，=(x，6)，若││=

5、

6、

7、

8、，则x＝　　　　．6．已知是两个向量集合，则　　　　．7．在四边形ABCD中，有＝＝=0，则该四边形是　　　　．8．设向量=(1,－3),=(－2,4),若表示向量4、3－2、的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量为　　　　　．9．已知且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是　　　　　　．Ｂ组10．平面上三个力F1、F2、F3作用于同一点O，而处于平衡状态，，成，求(1)F3的大小；(2)F3与F1的夹角．11．边形ABCD中，已知+

9、=，=0，试证明四边形ABCD是菱形．12．在四边形ABCD中，AB2+CD2=AD2+BC2成立，求证：AC⊥BD．13．已知，与垂直，与的夹角为，且，，求实数的值及与的夹角．知识点题号注意点向量是一种处理几何、物理等问题的工具注意实际问题的限制四、学习心得五、拓展视野例1如图，一条河的两岸平行，河的宽度m，一艘船从A处出发到河对岸．已知船的速度

10、

11、=10km/h，水流的速度

12、

13、=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)？分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于对岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短．考虑到水的流速，要使船的行驶航

14、程最短，那么船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于对岸．解：=(km/h)，所以，(min)．答：行驶航程最短时，所用的时间是3.1min．点评：上述问题中涉及速度等物理量，可根据平面向量的基本定理和物理问题的需要，把分解为水平方向和竖直方向两个不共线的向量，再利用运动学知识建立数学模型，最后利用向量的知识求解.(2)利用向量解决平面几何中有关的问题向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，因而向量方法是几何研究的一个有力的工具.在运用向量方法解决平面几何问题时，将几何问题转化为向量问题是关键.对具体问题是选用向量几何法还是选用向量坐标法是难点，利用向量坐

15、标法会给解决问题带来方便.例2求证△ABC的三条高相交于一点.证明：设△ABC的AB、AC边的高分别为CF，BE，它们交于点H，连接AH(如图)，设，,则∵CH⊥AB，BE⊥AC∴即两式相减得，即∵∴BC⊥AH，即三角形三条高相交于一点.例3如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交与R、T两点，证明：AR=RT=TC.解：设，则.由于与共线，所以设.又因为，与共线，设=因为=+，所以.因此，即.由于向量不共线，要使上式为，则有，解得.所以=.同理=.所以AR=RT=TC.点评：本题中由于R、T是对角线AC上