高中数学 2.1.1曲线与方程教案1 新人教版选修2-1

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1、§2．1．1曲线与方程【学情分析】：学生在必修模块中已经学过直线与圆的方程，熟练掌握了直线的方程、圆的方程的常用形式，能解决直线与圆的有关问题，对解析几何的研究方法与思路有一定的了解，这些对本节学习有很大帮助。【教学目标】：知识与技能1、了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，2、领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念及其关系，并能作简单的判断与推理；过程与方法1.在形成概念的过程中，培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，以及坐标法、待定系数法等常用的数学方法；2.体会研究解析几何的基本思想和解决解析几何问题的方法.情感态度

2、与价值观培养学生实事求是、合情推理、合作交流及独立思考等良好的个性品质，以及主动参与、勇于探索、敢于创新的精神【教学重点】：理解曲线与方程的有关概念与相互联系【教学难点】：定义中规定两个关系（纯粹性和完备性）【课前准备】：多媒体、实物投影仪【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一．复习、引入1、问题：(1)求如图所示的直线的方程,并说明曲线上的点与方程之间的关系；观察、思考，求得方程为引导学生分析：（1）如果点是这条直线上的任意一点，则它到两坐标轴的距离相等，即，那么它的坐标是方程的解。（2）如果是方程的解，即，则以这个解为坐标的点到两坐标轴的距离相等，它一定在这条直

3、线上。通过学生已熟悉的两种曲线引入，有利于学生在已有知识基础上开展学习；提出新问题，创设情景，引发学习兴趣。二．复习、引入(2)仿照（1）说明：以为圆心，以r为半径的圆引导学生在前一个例子的基础上类比归纳，得出结论，与方程的关系⑴设M(xo,yo)是圆上任一点，则它到圆心的距离等于半径，即，即：，这就是说，(xo,yo)是此方程的解；⑵如果(xo,yo)是方程的解，则可以推得，即点M(xo,yo)到圆心的距离等于半径，点M在圆上。使他们理解几何中的“形”与代数中的“数”的统一，为“依形判数”和“就数论形”的相互转化奠定了扎实的基础．这正体现了解析几何的基本思想，对解析几何

4、教学有着深远的影响．三．讲解定义1．在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性）(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．（完备性）那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线2.讨论：曲线可以看作是由点组成的集合，记作C；一个关于x,y的二元方程的解可以作为点的坐标，因而二元方程的解也描述了一个点集，记作F请大家思考：如何用集合C和点集F间的关系来表达“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系，进而重新表述以上定义关系(1)指集合C是点集F的子集，关系(2)指点集F是点集合C的

5、子集．这样根据集合的性质，可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”与“方程的曲线”，即：3．练习：下列方程表示如图所示的直线C，对吗？为什么？（1）;（2）;（3）

6、x

7、-y=0.上题供学生思考，口答．解：方程(1)、(2)、(3)上述概念是本课的重点和难点，让学生自己通过讨论归纳出来，老师再说清楚这两大性质(纯粹性和完备性)的含义，使学生初步理解这个概念通过引导学生运用集合的表述，使学生对曲线和方程的关系的理解得到加深和强化，在记忆中上也趋于简化通过反倒加深对定义的理解。都不是表示曲线C的方程．第（1）题中曲线C上的点不全都是方程的解，如点(-1,-1)等，即不符合“曲

8、线上的点的坐标都是方程的解”这一结论；第(2)题中，尽管“曲线C上的坐标都是方程的解”，但以方程的解为坐标的点不全在曲线C上，如点(2，-2)等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论；第(3)题中，类似(1)(2)得出不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”，“以方程的解为坐标的点都在曲线上”．事实上，(1)(2)(3)中各方程表示的曲线应该是下图的三种情况：四．例题1．例1：证明与两条坐标轴的距离的积是常数的点的轨迹方程是证明：（1）如图，设是轨迹上的任意一点，因为点M与x轴的距离为，与y轴的距离为，所以：，即是方程的根；通过例题巩固定义。（2）设点的坐标是

9、方程的根，则：，即，而、是点到横轴、纵轴的距离，因此点到这两条直线的距离的积是常数k，点是曲线上的点。由（1）（2）可知，是与两条坐标轴的距离的积为常数的点的轨迹方程五．练习1．教科书P37练习1、2六．小结1、曲线与方程的关系2、如何证明、判断曲线为方程的曲线，方程为曲线的方程3、曲线上的点所组成的集合与方程的解所组成的集合有什么关系？五、作业教科书习题2.1A组1、2练习与测试：1．如果曲线C上的点满足方程F（x,y)=0，则以下说法正确的是（）A.曲线C的方程是F(x,y)=0B.方程F(x,y)=0的曲线是CC.坐标满