高中数学 2.1.1曲线与方程学案新人教版选修2-1

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1、2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的轨迹方程一、学习目标1.曲线和方程的概念、意义及曲线和方程的两个基本问题2.使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．3．培养学生综合运用各方面知识的能力．二、教学过程(一)复习引入平面解析几何研究的主要问题是：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程，研究平面曲线的性质．(二)学生探究过程：探究：曲线和方程之间有什么对应关系呢？1、求第一、三象限两轴间夹角平分线的坐标满足的关系·0xyM2、方程y=ax2(a>0)是关于y轴对称的抛物线(如图)图像上的点M与此方程y=ax2有什么

2、关系？（1）、如果M(x0,y0)是抛物线上的点，那么M(x0,y0)是否一定是这个方程的解？（2）、如果(x0,y0)是方程y=ax2(a>0)的解，那么以它为坐标的点一定在抛物线上吗？3、说明过A（2，0）平行于y轴的直线与方程︱x︱=2的关系①、直线上的点的坐标是否都满足方程︱x︱=2？②、满足方程︱x︱=2的点是否都在直线上？定义：曲线的方程，方程的曲线典型例题例1判断下列结论的正误并说明理由（1）过点A（3，0）且垂直于x轴的直线为x=3（2）到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=2（3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1变式训练：写

3、出下列半圆的方程yyy-5y5555555-5-5-5-500xxxx例2 证明以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程是x2+y2=25,并判断点M1(3，-4)，M2(-3，2)是否在这个圆上.反思：证明已知曲线的方程的方法和步骤拓展：已知两圆C1：x2+y2+6x-16=0,C2:x2+y2-4x-5=0求证：对任一不等于－1的实数λ，方程x2＋y2+6x-16+λ(x2+y2-4x-5)=0是通过两个已知圆交点的圆的方程。思考？方程①中，如果λ＝－1，那么得到的方程还是圆吗？这个方程表示的是什么图形？与两圆有什么关系？几种常见求轨迹方程的方法1．直

4、接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．2．相关点法若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．例2　已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线

5、上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程．分析：P点运动的原因是B点在抛物线上运动，因此B可作为相关点，应先找出点P与点B的联系．3．待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求．例3　已知圆心为（2，-1），且与直线3x+4y+8=0相切，求此圆的方程。巩固练习1．△ABC一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边斜率的P37练习1，2，3反思求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、

6、复数以后再作介绍．五、布置作业1．两定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹方程．2．动点P到点F1(1，0)的距离比它到F2(3，0)的距离少2，求P点的轨迹．3．已知圆x2+y2=4上有定点A(2，0)，过定点A作弦AB，并延长到点P，使3

7、AB

8、=2

9、AB

10、，求动点P的轨迹方程．