高中数学 14《函数的单调性》学案 苏教版必修1

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1、第14课时函数的单调性（一）【学习目标】1．理解增函数．减函数的概念，掌握判断某些函数增减性的方法；2．培养学生的判断推理能力和数形结合，辩证思维的能力．【课前导学】【复习回顾】1.函数有哪几个要素？2.函数的定义域怎样确定？怎样表示？3.函数的表示方法常见的有哪几种？各有什么优点？4.区间的表示方法.前面我们学习了函数的概念．表示方法以及区间的概念，今天我们来研究函数的另一性质（导入课题，板书课题）．【课堂活动】一．建构数学：1.引例：观察y=x2的图象，回答下列问题：问题1：函数y=x2的图象在y轴右侧的部分是上升的，说明什么？随着x的增加，y值在增加．问题2：

2、怎样用数学语言表示呢？设x1．x2∈[0，+，得y1=f(x1),y2=f(x2).当x1

3、f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数(decreasingfunction)．如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间，在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．说明：（1）函数的单调性也叫函数的增减性；（2）注意区间上所取两点x1,x2的任意性；（3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念．（4）判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：a.设x1．x2∈给定区间，且x1＜x2（取值）；b.计算f（x1）－f（x2）至最简（作差）；b

4、.判断上述差的符号（断号）；d.下结论(若差＜0，则为增函数；若差＞0，则为减函数)．二．应用数学：例1画出下列函数的图像，并写出单调区间．(课本P34例1，与学生一块看，一起分析作答)（1）y=-x+2(2)y=(x0)【解后反思】要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又粗略的方法，严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明．下面举例说明．例2求证：函数f(x)=－x3+1在区间(－∞,+∞)上是单调减函数．证明：设x1，x2∈R且x1

5、，因为x2>x1，x22+x1x2+x12>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(－∞,+∞)上递减．例3证明函数f（x）＝在（0，＋∞）上是减函数.证明：设任意x1．x2∈（0，＋∞）且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝－＝，由x1，x2∈（0，＋∞）得x1x2＞0，又x1＜x2得x2－x1＞0，∴f（x1）－f（x2）＞0即f（x1）＞f（x2），∴f（x）＝在（0，＋∞）上是减函数．【解后反思】通过观察图象．对函数是否具有某种性质作出一种猜想，然后通过推理的办法.证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方

6、法.【拓展】函数在其定义域上是减函数吗？答案：该命题不对；例如时，，显然且，所以＂函数在其定义域上是减函数＂是不成立的．【说明】如果一个函数有两个单调区间，两个区间一般不取并集．例4(1)若函数在上是增函数，在上是减函数，则实数的值为；（2）若函数在上是增函数，则实数的取值范围为；（3）若函数的单调递增区间为，则实数的值为．解：（１）由二次函数的图像我们可以知道该二次函数的对称轴是即即；（２）由题意可以知道即；（３）由二次函数的图像我们可以知道该二次函数的对称轴是即即．三．理解数学：1．证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数．证明：设任意x1．x2∈R，且x1

7、2.则f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2).由x1，∴f(x2)>f(x1),f(x)=+在区间（3，4）上单调增．【课后提升】1．函数y=

8、x+1

9、的单调递减区