高三数学复习 第7课时 数列的综合应用导学案

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1、第7课时数列的综合应用【学习目标】1.掌握数列的函数性及与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题．2.掌握运用数列知识解决数列综合题及实际应用题的能力．【预习内容】1．等比数列与等差数列比较表不同点相同点等差数列(1)强调从第二项起每一项与前项的差；(2)a1和d可以为零；(3)等差中项唯一(1)都强调从第二项起每一项与前项的关系；(2)结果都必须是同一个常数；(3)数列都可由a1，d或a1，q确定等比数列(1)强调从第二项起每一项与前项的比；(2)a1与q均不为零；(3)等比中项有两个值2.解答数列应用题的步骤(1)审题——仔细阅读材

2、料，认真理解题意．(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么．(3)求解——求出该问题的数学解．(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．3．数列应用题常见题型⑴银行储蓄单利公式设本金为，每期利率为，存期为，则本利和⑵银行储蓄复利公式设本金为，每期利率为，存期为，则本利和⑶产值模型设第一年产值为，年增长率为，则年内的总产值⑷分期付款问题设某商品价格为，以等额分期付款的形式分次付清，若每期利率为，则每期应付款【课前练习】1.已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比

3、数列，则a2的值为解析　由题意知：a＝a1a4.则(a2＋2)2＝(a2－2)(a2＋4)，解得：a2＝－6.2.等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，且4a1,2a2，a3成等差数列，则S4＝解析　设数列{an}的公比为q，则4a2＝4a1＋a3，∴4a1q＝4a1＋a1q2，即q2－4q＋4＝0，∴q＝2.∴S4＝＝15.3.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，数列{bn}是等差数列，且a6＝b7，则有①a3＋a9≤b4＋b10；②a3＋a9≥b4＋b10③a3＋a9≠b4＋b10；④a3＋a9与b4＋b10的大小关系不

4、确定解析　记等比数列{an}的公比为q(q＞0)，由数列{bn}为等差数列可知b4＋b10＝2b7，又数列{an}是各项均为正数的等比数列，∴a3＋a9＝a3(1＋q6)＝a6＝b7，又＝＋q3≥2(当且仅当q＝1时，等号成立)，∴a3＋a9≥2b7，即a3＋a9≥b4＋b10.4.设数列{an}的前n项和为，点均在函数y=3x-2的图象上．则数列{an}的通项公式为．5.银行里的年存款利率为，某人于年初存入万元，若按单利计算利息，则年后，连本带息，该人有万元；若复利计算，则年后，连本带息，该人有万元（不扣除利息税）。【典型示例】题型一等

5、差数列与等比数列的综合应用【例1】►在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列{an}的通项an；(2)令bn＝2an－10，证明：数列{bn}为等比数列．[审题视点]第(1)问列首项a1与公差d的方程组求an；第(2)问利用定义证明．(1)解　由an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50，得方程组解得∴an＝12＋(n－1)·2＝2n＋10.(2)证明　由(1)，得bn＝2an－10＝22n＋10－10＝22n＝4n，∴＝＝4.∴{bn}是首项是4，公比q＝4的等比数列．对等差、等比数列的综合问题的分析，应

6、重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系．往往用到转化与化归的思想方法．变式：设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________．[解析]　因为a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，又a1＝1，所以a3＝q，a5＝q2，a7＝q3.因为a2，a4，a6成公差为1的等差数列，所以a4＝a2＋1，a6＝a2＋2.法一：　因为1＝a1≤a2≤…≤a7，所以即法二：　a6＝a2＋2≥3，即a6的最小值为3.又a6≤a7

7、，所以a7的最小值为3即q3≥3，解得a≥.故q的最小值为.[答案]　题型二　数列与函数的综合应用【例2】►(2012·南昌模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.[审题视点]第(1)问将点(n，Sn)代入函数解析式，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，得到an，再利用a1＝S1可求r.第(2)问错位相减求和．解　(1)由题意，Sn＝bn＋r，当n≥2时，

8、Sn－1＝bn－1＋r，所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1·(b－1)，由于b＞0且b≠1，所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列，又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，＝b，即＝b，解得