高三数学 8.9直线与圆锥曲线的位置关系复习导学案

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1、山东省高密市第三中学高三数学8.9直线与圆锥曲线的位置关系复习导学案一、基础梳理：1.直线∶Ax＋B＋C=0与椭圆C∶f(x，y)＝0的位置关系可分为：相交、相切、相离．2.三种位置关系的判定条件：设直线:Ax+By+C=0,椭圆C:f(x,y)=0,由消去y(或消去x)得:ax2+bx+c=0,△=b2-4ac,△＞0相交△＜0相离△=0相切3.直线与椭圆相交的弦长公式若直线与椭圆交于两点，★弦长：=.二、课内探究：题型一　求参数的取值范围例1.在直角坐标平面内，已知点，是平面内一动点，直线、斜率之积为.(Ⅰ)求动点的轨

2、迹的方程；(Ⅱ)过点作直线与轨迹交于两点，线段的中点为,求直线的斜率的取值范围.跟踪训练1：如图所示，已知圆定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足，点N的轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足的取值范围.题型二圆锥曲线中的范围、最值问题例2.如图，已知直线l：y＝kx－2与抛物线C：x2＝－2py(p>0)交于A、B两点，O为坐标原点，＋＝(－4，－12)．(1)求直线l的方程和抛物线C的方程；(2)若抛物线

3、上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积的最大值．题型三　圆锥曲线中的定点、定值问题例3.(2012·福建)如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p>0)上．(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q，证明：以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．题型四　圆锥曲线中的探索性问题例4.已知中心在原点的椭圆C：＋＝1的一个焦点为F1(0,3)，M(x,4)(x>0)为椭圆C上一点，△MOF1的面积为.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OM的直线l

4、，使得直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．题型五　直线、圆及圆锥曲线的交汇问题例5.(2013·浙江)如图，点P(0，－1)是椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程；(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．直线与圆锥曲线的位置关系参考答案1.解:(Ⅰ)设点的坐标为，依题意，有.化

5、简并整理，得.∴动点的轨迹的方程是.(Ⅱ)解：依题意，直线过点且斜率不为零.(1)当直线与轴垂直时，点的坐标为，此时，；(2)当直线的斜率存在且不为零时，设直线方程为,由方程组消去，并整理得，设,,则，∴,,..且.综合(1)、(2)可知直线的斜率的取值范围是：.2.解：（1）∴NP为AM的垂直平分线，∴

6、NA

7、=

8、NM

9、又∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆且椭圆长轴长为∴曲线E的方程为（2）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为得由设又整理得又又当直线GH斜率不存在，方程为即所求的取值范围是3.

10、解　(1)由，得x2＋2pkx－4p＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2pk，y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝－2pk2－4.∵＋＝(x1＋x2，y1＋y2)＝(－2pk，－2pk2－4)＝(－4，－12)，∴，解得，故直线l的方程为y＝2x－2，抛物线C的方程为x2＝－2y.(2)方法一　由，得x2＋4x－4＝0，∴

11、AB

12、＝·＝·＝4.设P(t，－t2)(－2－2

13、AB

14、为定值，∴当点P到直线l的距离d最大时，△ABP的面积最大．而d＝＝，又－2－2

15、＝－2时，dmax＝.∴当P点坐标为(－2，－2)时，△ABP面积的最大值为＝8.4.(1)解　依题意，得

16、OB

17、＝8，∠BOy＝30°.设B(x，y)，则x＝

18、OB

19、sin30°＝4，y＝

20、OB

21、cos30°＝12.因为点B(4，12)在x2＝2py上，所以(4)2＝2p×12，解得p＝2.故抛物线E的方程为x2＝4y.(2)证明　方法一　由(1)知y＝x2，y′＝x.设P(x0，y0)，则x0≠0，且l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－x.由得所以Q为.设M(0，y1)，令·＝0对满足y0＝x(x0≠0

22、)的x0，y0恒成立．由于＝(x0，y0－y1)，＝，由·＝0，得－y0－y0y1＋y1＋y＝0，即(y＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0.(*)由于(*)式对满足y0＝x(x0≠0)的y0恒成立，所以解得y1＝1.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)．方法二　由(1)知y＝x2，y′＝x.设