用改进的欧拉方法和四阶龙格-库塔方法解初值问题

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1、用改进的欧拉方法和四阶龙格-库塔方法解初值问题一、题目：取步长，分别用改进的欧拉方法和四阶龙格—库塔方法解初值问题并比较结果。二、基本思想：1.改进的欧拉方法改进的欧拉方法用梯形公式计算中的积分，并以和分别表示和的近似值，就得到（梯形公式）梯形公式也是一个一步法公式。由于公式右端也含有未知的，故被称作是隐式的。隐式格式实际上是关于的一个函数方程。为了避免解方程，可以采用欧拉方法计算初始值，再由梯形公式计算。这样建立起来的计算格式称为改进的欧拉格式：梯形公式也可以采用迭代法求解。如果仍然采用欧拉方法计算迭代

2、初值，那么计算格式就是由于已假定满足里普希兹条件，所以有从而，迭代的收敛条件是2.四阶龙格-库塔方法龙格—库塔方法不是用求导数的办法，而是用计算不同点上的函数值，然后对这些函数值作线性拟合，构造近似公式。组合的原则是使得近似公式与泰勒展开式有尽可能多的项吻合，以达到较高的精度。改进的欧拉格式可以改写为,其中可见改进的欧拉格式可这样理解：首先计算和两点的函数值和，然后以它们的算术平均值作为的近似值，而点中的则是通过已知值来预报的。这个处理过程告诉我们：如果设法多计算几个点处的函数值，然后以这些值得某种加权平

3、均值作为的近似值，则有可能构造出更精确的计算格式。一般地龙格—库塔格式可以写成其中选择参数的原则是：要求的右端在处的泰勒展开式按的幂重新排列后得到的与微分方程的解在点的展开式又尽可能多的项重合。经典的四阶龙格—库塔方法的计算公式是：一、程序设计：1.改进的欧拉方法eulerpro.m文件function[x,y]=eulerpro(h,x0,y0);x(1)=x0;y(1)=y0;fori=1:10;x(i+1)=x(i)+h;y1=y(i)+h*(x(i)+y(i));y2=y(i)+h*(x(i+1)

4、+y1);y(i+1)=(y1+y2)/2;end计算：[x,y]=eulerpro(0.1,0,1)2.四阶龙格-库塔方法lgkt4j.m文件function[x,y]=lgkt4j(x0,y0,h)x(1)=x0;y(1)=y0;fori=1:10x(i+1)=x(i)+h;K1=h*(x(i)+y(i));K2=h*(x(i)+1/2*h+y(i)+1/2*K1);K3=h*(x(i)+1/2*h+y(i)+1/2*K2);K4=h*(x(i)+h+y(i)+K3);y(i+1)=y(i)+1/6*

5、(K1+2*K2+2*K3+K4);end计算：[x,y]=lgkt4j(0,1,0.1)四、结果分析：改进的欧拉方法运行结果：x=00.10000.20000.30000.40000.50000.60000.70000.80000.90001.0000y=1.00001.11001.24211.39851.58181.79492.04092.32312.64563.01243.4282四阶龙格-库塔方法运行结果：x=00.10000.20000.30000.40000.50000.60000.70000

6、.80000.90001.0000y=1.00001.11031.24281.39971.58361.79742.04422.32752.65113.01923.4366准确解：x=00.10000.20000.30000.40000.50000.60000.70000.80000.90001.0000y=1.00001.11031.24281.39971.58361.79742.04422.32752.65113.01923.4366比较计算结果可得四阶龙格-库塔方法更接近准确解。改进的欧拉方法的局部误

7、差为，整体截断误差为，而四阶龙格-库塔方法的局部截断误差为，整体截断误差为，误差明显小于改进的欧拉方法的误差，所以龙格库塔方法更接近于准确值。