八年级数学上册 4.2 一次函数与正比例函数导学案（新版）北师大版(4)

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1、第四章一次函数第2节一次函数与正比例函数【学习目标】1、理解一次函数和正比例函数的概念，能判断一个函数是否是一次函数或正比例函数。2、能根据所给条件写出简单的一次函数的关系式。3、经历一般规律的探索过程，发展自己的抽象思维能力和数学应用能力。【学习重难点】重点：理解一次函数与正比例函数的概念。难点：根据条件列一次函数的关系式。【学习方法】自主探究与小组合作【学习过程】模块一预习反馈一、学习准备1、函数的概念：一般地，在某个变化过程中，有两个变量和，如果给定一个的值，相应地就确定了一个值，那么我们称y是的函数。其中x是，y是。2、函数的表示方法：、、。3、

2、阅读教材：第2节《一次函数与正比例函数》二、教材精读4、理解一次函数与正比例函数的概念某弹簧的自然长度为4厘米。在弹性限度内，所挂物体的质量每增加1千克，弹簧长度增加1厘米。（1）计算所挂物体的质量分别为1千克、2千克、3千克、4千克、5千克时弹簧的长度，并填入下表：x/千克012345y/厘米（2）写出x与y之间的关系式。（提示：弹簧的长度=弹簧的初始长度+挂重物后增加的长度）解：归纳：若两个变量x、y间的对应关系可以表示成：（k,b为常数，k≠0）的形式，则y是x的一次函数（x是自变量，y是因变量）。特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。实践练习

3、：下列函数中，x是自变量，y是x的函数，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？注意哦！判断一个函数是否为一次函数，应注意以下三点：（1）右边是关于x的整式；（2）自变量x的次数为1；（3）k≠0。三者缺一不可。⑴⑵⑶⑷解：注意：理解定义时一定要注意以下几点：（1）一次函数的表达式是一个等式，其左边是y，右边是关于自变量x的整式；（2）自变量x的次数为1，系数k≠0；（3）当b=0，而k≠0时，y=kx仍为一次函数，又叫正比例函数，当k=0时，它不是一次函数；（4）正比例函数是一次函数的特例，但一次函数不一定是正比例函数。5、列关系式例1写出下列各题中x与y之

4、间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？（1）汽车以70千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系；（2）圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系；（3）一棵树高40厘米，每个月长3厘米，x月后这棵树的高度为y（厘米）。解：（1）由路程=速度×时间，得y=70x；自主完成第（2）、（3）小题！y是x的一次函数；也是x的正比例函数。（2）（3）三、教材拓展6、例2已知函数：（1）m为何值时，这个函数是一次函数？（2）m为何值时，这个函数是正比例函数？解：（1）根据一次函数的定义，可得m-100，所以

5、当时，这个函数是一次函数。（2）根据正比例函数的定义，可得m-100且1-2m0;所以当时，这个函数是正比例函数。实践练习：（1）下列函数：①、②、③、④、⑤中是一次函数的有；是正比例函数的有（只填序号）（2）已知一次函数，则k=。模块二合作探究7、例3某工厂加工一批产品，为了提前交货，规定每个工人完成100个以内，每个产品付酬1.5元，超过100个，超过部分每个付酬增加0.3元；超过200个，超过部分除按上述规定外，每个产品再增加0.4元，求对于一个工人：（1）完成100个以内所得报酬y（元）与产品数x（个）之间的函数关系式；（2）完成100个以上，但

6、不超过200个所得报酬y（元）与产品数x（个）之间的函数关系式；（3）完成200个以上所得报酬y（元）与产品数x（个）之间的函数关系式。分析：（1）每个产品付酬1.5元，x个应付元；（2）100个以上时，报酬应为100×1.5＋100个以上的部分×；（3）完成200个以上所得报酬为100×1.5＋100×1.8＋超过200个的部分×；解：（1）y=（x≤100）（2）y=（100＜x≤200）（3）y=（x＞100）注意：所得报酬应根据完成零件的个数的多少分不同的价格计算！！实践练习：如图，若O是△ABC的内角平分线的交点，∠A=x，∠BOC=y，求y与

7、x之间的函数关系式，关指出自变量的取值范围。分析：首先根据三角形内角和定理可以用x表示∠ABC+∠ACB，然后可以表示（∠ABC+∠ACB），最后利用∠BOC=180°-（∠ABC+∠ACB）即可求出y与x的函数关系式，再根据三角形的内角和定理可以求出自变量x的取值范围。解：∵O是△ABC的内角平分线的交点∴∠OBC=，∠OCB=，∴∠OBC+∠OCB=（+）=∵∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）∴∠BOC=180°-，即y=（其中）模块三形成提升1、有下列函数：①、②、③、、④、⑤、⑥中是一次函数的有；是正比例函数的有（只填序号）2、若函数是一

8、次函数，则m；若此函数是正比例函数，则m。3、写出下列各题中y与x之间的关系式，