（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.2 平面向量基本定理及坐标表示 理

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1、【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第五章平面向量5.2平面向量基本定理及坐标表示理1．平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，

2、a

3、＝.(2)向量

4、坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，

5、

6、＝.3．平面向量共线的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，如果a∥b，那么x1y2－x2y1＝0；反过来，如果x1y2－x2y1＝0，那么a∥b.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　×　)(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　√　)(3)平面

7、向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．(　√　)(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(　×　)(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(　√　)1．设e1，e2是平面内一组基底，那么下列说法正确的是________(填序号)．①若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0；②空间内任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)；③对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在该平面内；④对平面内任

8、一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对．答案　①2．在△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s＝________.答案　0解析　因为＝2，所以＝＝(－)＝－，则r＋s＝＋＝0.3．在▱ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则向量的坐标为__________．答案　(－3，－5)解析　∵＋＝，∴＝－＝(－1，－1)，∴＝－＝－＝(－3，－5)．4．设0＜θ＜，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，则tanθ＝________.答案　解析　∵a∥b，

9、∴sin2θ×1－cos2θ＝0，∴2sinθcosθ－cos2θ＝0，∵0＜θ＜，∴cosθ＞0，∴2sinθ＝cosθ，∴tanθ＝.5．已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．答案　(1,5)解析　设D(x，y)，则由＝，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即解得题型一　平面向量基本定理的应用例1　(1)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.(2)如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点

10、，若＝m＋，则实数m的值为________．答案　(1)　(2)解析　(1)因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝2＋＋＝2－－，所以＝－，所以λ＋μ＝.(2)设＝k，k∈R.因为＝＋＝＋k＝＋k(－)＝＋k(－)＝(1－k)＋，且＝m＋，所以1－k＝m，＝，解得k＝，m＝.思维升华　(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．　(1)在平行四边形ABCD中，＝e1

11、，＝e2，＝，＝，则＝________.(用e1，e2表示)(2)如图，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x，＝y，则的值为________．答案　(1)－e1＋e2(2)解析　(1)如图，＝－＝＋2＝＋＝－＋(－)＝－e2＋(e2－e1)＝－e1＋e2.(2)易知＝＋，＝－x＋y，故＝＋.由于与共线，所以y＝－x，即xy＝(x＋y)，因此＝.题型二　平面向量的坐标运算例2　(1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c＝________.(2)已知点A(1

12、,3)，B(4，－1)，则与向量A同方向的单位向量为__________．答案　(1)　(2)解析　(1)由已知3c＝－a＋2b＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．所以c＝.(2)A＝O－O＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴与A同方向的单位向量为＝.思