（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 课时3 导数与函数的综合问题 文

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1、课时3　导数与函数的综合问题题型一　用导数解决与不等式有关的问题命题点1　解不等式例1　设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)＝0，当x>0时，有<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集是_________．答案　(－∞，－2)∪(0,2)解析　x>0时′<0，∴φ(x)＝为减函数，又φ(2)＝0，∴当且仅当00，此时x2f(x)>0.又f(x)为奇函数，∴h(x)＝x2f(x)也为奇函数．故x2f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．命题点2　证明不等式例2　证明：当x∈[0,1]时，x≤s

2、inx≤x.证明　记F(x)＝sinx－x，则F′(x)＝cosx－.当x∈(0，)时，F′(x)>0，F(x)在[0，]上是增函数；当x∈(，1)时，F′(x)<0，F(x)在[，1]上是减函数．又F(0)＝0，F(1)>0，所以当x∈[0,1]时，F(x)≥0，即sinx≥x.记H(x)＝sinx－x，则当x∈(0,1)时，H′(x)＝cosx－1<0，所以H(x)在[0,1]上是减函数，则H(x)≤H(0)＝0，即sinx≤x.综上，x≤sinx≤x，x∈[0,1]．命题点3　不等式恒成立问题例3　已知函数f(x)＝lnx

3、－.若f(x)0，∴a>xlnx－x3，令g(x)＝xlnx－x3，则h(x)＝g′(x)＝1＋lnx－3x2，h′(x)＝－6x＝，∵当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，∴h(x)在(1，＋∞)上是减函数，∴h(x)

4、确定函数单调性解不等式；(2)证明不等式f(x)

5、1时，f(x)＝x3－3x2，则f′(x)＝3x2－6x.由f′(x)>0，得x<0或x>2；由f′(x)<0，得0

6、4·课标全国Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线y＝f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为－2.(1)求a；(2)证明：当k<1时，曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．(1)解　f′(x)＝3x2－6x＋a，f′(0)＝a.曲线y＝f(x)在点(0,2)处的切线方程为y＝ax＋2.由题设得－＝－2，所以a＝1.(2)证明　由(1)知，f(x)＝x3－3x2＋x＋2.设g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4.由题设知1－k>0.当x≤0时，g′(x)＝3x2－6x＋1－k

7、>0，g(x)单调递增，g(－1)＝k－1<0，g(0)＝4，所以g(x)＝0在(－∞，0]有唯一实根．当x>0时，令h(x)＝x3－3x2＋4，则g(x)＝h(x)＋(1－k)x>h(x)．h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，所以g(x)>h(x)≥h(2)＝0.所以g(x)＝0在(0，＋∞)没有实根．综上，g(x)＝0在R有唯一实根，即曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．思维升华　研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等

8、，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．　已知函数f(x)＝x2＋xsinx＋cosx的图象与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．解　f′(x)＝x(2＋c