（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 课时3 导数与函数的综合问题 理

《（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 课时3 导数与函数的综合问题 理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、课时3　导数与函数的综合问题题型一　用导数解决与不等式有关的问题命题点1　解不等式例1　设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)＝0，当x>0时，有<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集是______________．答案　(－∞，－2)∪(0,2)解析　x>0时′<0，∴φ(x)＝为减函数，又φ(2)＝0，∴当且仅当00，此时x2f(x)>0.又f(x)为奇函数，∴h(x)＝x2f(x)也为奇函数．故x2f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．命题点2　证明不等式例2　证明：当x∈[0,

2、1]时，x≤sinx≤x.证明　记F(x)＝sinx－x，则F′(x)＝cosx－.当x∈(0，)时，F′(x)>0，F(x)在[0，]上是增函数；当x∈(，1)时，F′(x)<0，F(x)在[，1]上是减函数．又F(0)＝0，F(1)>0，所以当x∈[0,1]时，F(x)≥0，即sinx≥x.记H(x)＝sinx－x，则当x∈(0,1)时，H′(x)＝cosx－1<0，所以H(x)在[0,1]上是减函数，则H(x)≤H(0)＝0，即sinx≤x.综上，x≤sinx≤x，x∈[0,1]．命题点3　不等式恒成立问题例3　已知定

3、义在正实数集上的函数f(x)＝x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a>0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．(1)用a表示b，并求b的最大值；(2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．(1)解　设两曲线的公共点为(x0，y0)，f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝，由题意知f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)，即由x0＋2a＝，得x0＝a或x0＝－3a(舍去)．即有b＝a2＋2a2－3a2lna＝a2－3a2lna.令h(t)＝t2－3t2lnt(t>0)，则h′(t)＝

4、2t(1－3lnt)．于是当t(1－3lnt)>0，h′(t)>0；当t(1－3lnt)<0，h′(t)<0.故h(t)在上为增函数，在上为减函数，于是h(t)在(0，＋∞)上的最大值为即b的最大值为(2)证明　设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋2ax－3a2lnx－b(x>0)，则F′(x)＝x＋2a－＝(x>0)．故F(x)在(0，a)上为减函数，在(a，＋∞)上为增函数．于是F(x)在(0，＋∞)上的最小值是F(a)＝F(x0)＝f(x0)－g(x0)＝0.故当x>0时，有f(x)－g(x)≥0，即当x>0时，f(

5、x)≥g(x)．思维升华　(1)利用导数解不等式，一般可构造函数，利用已知条件确定函数单调性解不等式；(2)证明不等式f(x)

6、lnx－0，∴a>xlnx－x3，令g(x)＝xlnx－x3，则h(x)＝g′(x)＝1＋lnx－3x2，h′(x)＝－6x＝，∵当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，∴h(x)在(1，＋∞)上是减函数，∴h(x)

7、与x轴交点的横坐标为－2.(1)求a；(2)证明：当k<1时，曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．(1)解　f′(x)＝3x2－6x＋a，f′(0)＝a.曲线y＝f(x)在点(0,2)处的切线方程为y＝ax＋2.由题设得－＝－2，所以a＝1.(2)证明　由(1)知，f(x)＝x3－3x2＋x＋2.设g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4.由题设知1－k>0.当x≤0时，g′(x)＝3x2－6x＋1－k>0，g(x)单调递增，g(－1)＝k－1<0，g(0)＝4，所以g(x)＝0在(－∞，0]

8、有唯一实根．当x>0时，令h(x)＝x3－3x2＋4，则g(x)＝h(x)＋(1－k)x>h(x)．h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，所以g(x)>h(x)≥h(2)＝0.所以g(x)＝0在(0，＋∞)没有实根．综上，g(x)＝