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《（江苏专版）2016届高考数学一轮复习 23.1几何证明选讲 理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二十三章 选修4系列§23.1 几何证明选讲14.(2015江苏,21A,10分)[选修4—1:几何证明选讲]如图,在△ABC中,AB=AC,△ABC的外接圆☉O的弦AE交BC于点D.求证:△ABD∽△AEB.证明 因为AB=AC,所以∠ABD=∠C.又因为∠C=∠E,所以∠ABD=∠E,又∠BAE为公共角,可知△ABD∽△AEB.15.(2015课标Ⅰ,22,10分)(选修4—1:几何证明选讲)如图,AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,BC交☉O于点E.(1)若D为AC的中点,证明:DE是☉O的切线;(2)若OA=CE,求∠ACB的大小.解析 (1)连结AE,由已
2、知得,AE⊥BC,AC⊥AB.在Rt△AEC中,由已知得,DE=DC,故∠DEC=∠DCE.连结OE,则∠OBE=∠OEB.又∠ACB+∠ABC=90°,所以∠DEC+∠OEB=90°,故∠OED=90°,DE是☉O的切线.(5分)(2)设CE=1,AE=x,由已知得AB=2,BE=.由射影定理可得,AE2=CE·BE,所以x2=,即x4+x2-12=0.可得x=,所以∠ACB=60°.(10分)16.(2015课标Ⅱ,22,10分)(选修4—1:几何证明选讲)如图,O为等腰三角形ABC内一点,☉O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB
3、,AC分别相切于E,F两点.(1)证明:EF∥BC;(2)若AG等于☉O的半径,且AE=MN=2,求四边形EBCF的面积.解析 (1)由于△ABC是等腰三角形,AD⊥BC,所以AD是∠CAB的平分线.又因为☉O分别与AB,AC相切于点E,F,所以AE=AF,故AD⊥EF.从而EF∥BC.(2)由(1)知,AE=AF,AD⊥EF,故AD是EF的垂直平分线.又EF为☉O的弦,所以O在AD上.连结OE,OM,则OE⊥AE.由AG等于☉O的半径得AO=2OE,所以∠OAE=30°.因此△ABC和△AEF都是等边三角形.因为AE=2,所以AO=4,OE=2.因为OM=OE=2,
4、DM=MN=,所以OD=1.于是AD=5,AB=.所以四边形EBCF的面积为××-×(2)2×=.1.(2015重庆,14,5分)如图,圆O的弦AB,CD相交于点E,过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P,若PA=6,AE=9,PC=3,CE∶ED=2∶1,则BE= . 答案 22.(2015天津改编,5,5分)如图,在圆O中,M,N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N.若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为 . 答案 3.(2015湖北,15,5分)(选修4—1:几何证明选讲)如图,PA是圆的切线,A为切点,PBC是圆的割线,且B
5、C=3PB,则= . 答案 4.(2015广东,15,5分)(几何证明选讲选做题)如图,已知AB是圆O的直径,AB=4,EC是圆O的切线,切点为C,BC=1.过圆心O作BC的平行线,分别交EC和AC于点D和点P,则OD= . 答案 817.(2015陕西,22,10分)选修4—1:几何证明选讲如图,AB切☉O于点B,直线AO交☉O于D,E两点,BC⊥DE,垂足为C.(1)证明:∠CBD=∠DBA;(2)若AD=3DC,BC=,求☉O的直径.解析 (1)证明:因为DE为☉O直径,则∠BED+∠EDB=90°,又BC⊥DE,所以∠CBD+∠EDB=90°,从而
6、∠CBD=∠BED.又AB切☉O于点B,得∠DBA=∠BED,所以∠CBD=∠DBA.(2)由(1)知BD平分∠CBA,则==3,又BC=,从而AB=3.所以AC==4,所以AD=3.由切割线定理得AB2=AD·AE,即AE==6,故DE=AE-AD=3,即☉O直径为3.18.(2015湖南,16(1),6分)选修4—1:几何证明选讲如图,在☉O中,相交于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N,直线MO与直线CD相交于点F.证明:(1)∠MEN+∠NOM=180°;(2)FE·FN=FM·FO.解析 证明:(1)如图所示.因为M,N分别是弦AB,CD的中点,所以OM⊥
7、AB,ON⊥CD,即∠OME=90°,∠ENO=90°,因此∠OME+∠ENO=180°.又四边形的内角和等于360°,故∠MEN+∠NOM=180°.(2)由(1)知,O,M,E,N四点共圆,故由割线定理即得FE·FN=FM·FO.
