（全国通用）2017高考数学一轮复习 第五章 数列 热点专题突破三 数列的综合问题习题 理

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1、热点专题突破三　数列的综合问题1.公差d>0的等差数列{an}中,a1=2,a1,a2,a4成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)数列{bn}满足an=+…+,求数列{bn}的通项公式.1.【解析】(1)因为a1,a2,a4成等比数列,所以(a1+d)2=a1(a1+3d),整理得d=a1=2,所以an=a1+(n-1)d=2n.(2)因为an=+…+,①所以an-1=+…+.②①-②得an-an-1=(n≥2),即bn=2(2n+1)=2n+1+2(n≥2),当n=1时,b1=6适合上式,所以bn=2n+1+2.2.数列{a

2、n}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=2Sn+1,数列{bn}为等差数列,且b3=3,b5=7.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)若对任意的n∈N*,·k≥bn恒成立,求实数k的取值范围.2.【解析】(1)由an+1=2Sn+1,①得an=2Sn-1+1,②①-②得an+1-an=2(Sn-Sn-1),∴an+1=3an(n≥2).又a2=3,a1=1也满足上式,∴an=3n-1.由b5-b3=2d=6,可得d=3,∴bn=3+(n-3)×3=3n-6.(2)Sn=,∴k≥3n-6对n∈N*恒成立,∴k≥对n∈N*恒成

3、立.令cn=,cn-cn-1=,当n≤3时,cn>cn-1,当n≥4时,cn

4、=23×=8×4q,∴q=2或q=-2,∵a1a2=>0,∴q=2,an=a1qn-1=2n.又a1a2a3…an=(n∈N*),∴,∴bn=.(2)由cn=-2,得Sn=c1+c2+…+cn=+…+-21-++…+=-21-=-1.4.已知数列{an}中,a1=1,an=-,n≥2,且bn=an+,数列{bn}的前n项和为Sn.(1)求证:数列{bn}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;(2)若对任意n∈N*,p≤Sn-≤q,求q-p的最小值.4.【解析】(1)因为bn+1=an+1+=-=-an+=-bn,又b1=a1+≠0,所以

5、数列{bn}是等比数列.因为bn=b1,所以an=bn-.(2)由(1)可知Sn==1-,当n为奇数时,Sn=1+;当n为偶数时,Sn=1-.因为函数y=x-在(0,+∞)上单调递增,所以Sn-的取值范围是.所以p≤-,q≥,所以q-p≥,即q-p的最小值是.5.已知各项均为正数的数列{an}满足+anan+1,且a2+a4=2a3+4,其中n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{bn}满足bn=(n∈N*),若存在正整数m,n(1

6、1,即(an+1+an)(an+1-2an)=0,又an>0,所以有an+1-2an=0,即an+1=2an,所以数列{an}是公比为2的等比数列,由a2+a4=2a3+4得2a1+8a1=8a1+4,解得a1=2,所以数列{an}的通项公式为an=2n(n∈N*).(2)bn=,若b1,bm,bn成等比数列,则,即3m2+n(2m2-4m-1)=0.因为11,所以m=2,此时n=12.6.(2015·长沙长郡中学等十三校第二次联考)已知正项数列{an}的首项a1=

7、1,前n项和Sn满足an=(n≥2).(1)求证:{}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;(2)记数列的前n项和为Tn,若对任意的n∈N*,不等式4Tn

8、(x)=(其中n是常数,n∈N*),将函数fn(x)的最大值记为an,由an构成的数列{an}的前n项和记为Sn.(1)求Sn;(2)若对任意的n∈N*,总存在x∈(0,+∞)使+a=an,求