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《导与练普通班2017届高三数学一轮复习第八篇立体几何与空间向量第7节立体几何中的向量方法第二课时求空间角与距离基丛点练理 (2)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二课时 求空间角与距离【选题明细表】知识点、方法题号利用向量法求直线与平面所成角2利用向量法求距离1综合应用3,4【教师备用】(2016邢台摸底考试)如图,已知四棱锥PABCD的底面为菱形,∠BCD=120°,AB=PC=2,AP=BP=.(1)求证:AB⊥PC;(2)求二面角BPCD的余弦值.(1)证明:取AB的中点O,连接PO,CO,AC,因为△APB为等腰三角形,所以PO⊥AB,又四边形ABCD是菱形,∠BCD=120°,所以△ACB是等边三角形,所以CO⊥AB.又CO∩PO=O,所以AB⊥平面PCO,又PC⊂平面PCO,所以AB⊥PC.(2)解:易求
2、得PO=1,OC=,所以OP2+OC2=PC2,所以OP⊥OC.以O为坐标原点,以OC所在直线为x轴,OB所在直线为y轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系如图所示.则A(0,-1,0),B(0,1,0),C(,0,0),P(0,0,1),D(,-2,0),=(,-1,0),=(,0,-1),=(0,2,0).设平面DCP的法向量n=(x,y,z),则即令x=1,得所以n=(1,0,),设平面PCB的法向量m=(a,b,c),即令a=1,则b=c=,所以m=(1,,),所以cos==,由图易知二面角BPCD的平面角为钝角.所以二面角BPCD的余弦
3、值为-.1.(2016郑州第一次质量预测)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,PD⊥底面ABCD,∠ADC=90°,AD=2BC,Q为AD的中点,M为棱PC的中点.(1)证明PA∥平面BMQ;(2)已知PD=DC=AD=2,求点P到平面BMQ的距离.(1)证明:连接AC交BQ于N,连接MN,因为∠ADC=90°,Q为AD的中点,所以N为AC的中点,又M为PC的中点,MN为△PAC的中位线,故MN∥PA,又MN⊂平面BMQ,所以PA∥平面BMQ.(2)解:以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系
4、,D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),Q(1,0,0),B(1,2,0),M(0,1,1).所以=(0,-1,1),=(-1,1,1),=(-1,-1,1),设n=(x,y,z)是平面BQM的法向量,则n⊥,n⊥,所以即令z=1,则x=1,y=0,所以n=(1,0,1),则P点到平面BQM的距离为d===.2.(2015高考新课标全国卷Ⅱ)如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形
5、.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.解:(1)交线围成的正方形EHGF如图.(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH==6,所以AH=10.以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),=(10,0,0),=(0,-6,8).设n=(x,y,z)是平面EHGF的法向量,则即所以可取n=(0,4,3).又=(-10
6、,4,8),故
7、cos
8、==.所以AF与平面α所成角的正弦值为.3.(2016贵阳监测考试)如图,已知四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AB⊥AC,AB=AC=PA=2,E是BC的中点.(1)求异面直线AE与PC所成的角;(2)求二面角DPCA的平面角的余弦值.解:(1)如图所示,以A点为原点建立空间直角坐标系Axyz,则B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2).故E(1,1,0),=(1,1,0),=(0,2,-2),cos<,>==,即<,>=60°,故异面直线AE与PC所成的角为60°.(2)因为AB=
9、AC=2,AB⊥AC,所以∠ABC=∠ACB=45°,因为AD∥BC,所以∠DAC=∠ACB=45°,又AD⊥CD,所以AD=CD=,所以D(-1,1,0),又C(0,2,0),所以=(-1,-1,0),=(0,2,-2).设n=(x,y,z)是平面PCD的法向量,则⊥n,⊥n,即·n=0,·n=0,所以令x=-1得y=1,z=1,则n=(-1,1,1),
10、n
11、=.又AB⊥平面PAC,所以=(2,0,0)是平面PAC的一个法向量,所以cos<,n>==-,所以二面角DPCA的平面角的余弦值为.4.(2015河南三市第三次调研)在三棱锥PABC中,PA⊥底面AB
12、C,PB=PC=,BC=4,PA=m(
