2016届高考数学一轮复习 第5章 第5节 数列的综合应用课后限时自测 理 苏教版

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1、【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第5章第5节数列的综合应用课后限时自测理苏教版[A级　基础达标练]一、填空题1．(2014·南通质检)已知数列{an}满足：a1＝1，an>0，a－a＝1(n∈N*)，那么使an<5成立的n的最大值________．[解析]　由a－a＝1(n∈N*)知，数列{a}是首项为1，公差为1的等差数列，则a＝1＋(n－1)×1＝n.由an<5得<5，∴n<25，则n的最大值为24.[答案]　242．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn

2、}中连续的三项，则数列{bn}的公比q＝________.[解析]　设数列{an}的公差为d(d≠0)，由a＝a1a7得(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，解得a1＝2d.故数列{bn}的公比q＝＝＝＝2.[答案]　23．(2014·泰州模拟)设数列{an}是首项大于零的等比数列，则“a10，当a11.{an}为递增数列；若{an}为递增数列，则q>1，a1

3、已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1，n∈N*)，第k项满足750＜ak＜900，则k＝________.[解析]　由an＋1＝3Sn及an＝3Sn－1(n≥2)，得an＋1－an＝3an，即an＋1＝4an(n≥2)，又a2＝3S1＝3，∴an＝又750＜ak＜900，验证得k＝6.[答案]　65．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则＝________.[解析]　设等比数列的公比为q，由题意知a3＝a1＋2a2，即a1q2＝a

4、1＋2a1q，∴q2－2q－1＝0，解得q＝1＋或q＝1－(舍去)．∴＝＝q2＝(1＋)2＝3＋2.[答案]　3＋26．(2014·盐城模拟)已知a，b，c(a0)，①若交换a，b，则b，b－d，b＋d成等比数列，得(b－d)2＝b(b＋d)，解得d＝3b，∴a＝－2b，c＝4b.∴＝＝10.②若交换a，c，则d＝0(舍去)

5、．③若交换b，c也可得＝10，综上，＝10.[答案]　107．从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.[解析]　设倒n次后纯酒精与总溶液的体积比为an，则an＝n，由题意知n<10%，∴n≥4.[答案]　48．已知数列{an}为等差数列，公差为d，若<－1，且它的前n项和Sn有最大值，则使得Sn<0的n的最小值为________．[解析]　根据Sn有最大值知，d<0

6、，则a10>a11，由<－1知，a10>0>a11，且a11<－a10即a10＋a11<0，从而S19＝＝19a10>0，S20＝＝10(a10＋a11)<0，则使Sn<0的n的最小值为20.[答案]　20二、解答题9．(2013·天津高考)已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：Sn＋≤(n∈N*)．[解]　(1)设等比数列{an}的公比为q.因为－2S2，S3,4S4成等差数列，所以S3＋2S2＝

7、4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，可得2a4＝－a3，于是q＝＝－.又因为a1＝，所以等比数列{an}的通项公式为an＝·n－1＝(－1)n－1·.(2)证明：Sn＝1－n，Sn＋＝1－n＋＝当n为奇数时，Sn＋随n的增大而减小．所以Sn＋≤S1＋＝.当n为偶数时，Sn＋随n的增大而减小，所以Sn＋≤S2＋＝.故对于n∈N*，有Sn＋≤.10．某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每

8、年初M的价值为上年初的75%.(1)求第n年初M的价值an的表达式；(2)设An＝，若An大于80万元，则M继续使用，否则需在第n年初对M更新．证明：需在第9年初对M更新．[解]　(1)当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列，an＝120－10(n－1)＝130－10n.当n≥7时，数列{an}是以a6为首项，公比为的等比数列，又a6＝70，所以an＝70×n－6.因此，第n年初，M的价值an的表达式为an＝(2)设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等