春七年级数学下册《1.5 平方差公式》学案3（新版）北师大版

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1、《1.5平方差公式》学习目标：1.了解平方差公式的几何背景.2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.3.体会符号运算对证明猜想的作用.学习重点：平方差公式的几何解释和广泛的应用.学习难点：准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能.学习过程：一.类比引入［师］同学们，请把自己准备好的正方形纸板拿出来，设它的边长为a.这个正方形的面积是多少？［生］a2.［师］请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形（如图1－23）.现在我们就有了一个新的图形（如上图阴影部分），你能表示出阴影部分的面积吗？图1－23［生］剪

2、去一个边长为b的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为（a2－b2）.［师］你能用阴影部分的图形拼成一个长方形吗？同学们可在小组内交流讨论.（教师可巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法）［生］老师，我们拼出来啦.［师］讲给大伙听一听.［生］我是把剩下的图形（即上图阴影部分）先剪成两个长方形（沿上图虚线剪开），我们可以注意到，上面的大长方形宽是（a－b），长是a；下面的小长方形长是（a－b），宽是b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和小长方形的长都是（a－b），我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如图1－24所示的

3、图形（阴影部分），它的长和宽分别为（a+b），（a－b），面积为（a+b）（a－b）.图1－24［师］比较上面两个图形中阴影部分的面积，你发现了什么？［生］这两部分面积应该是相等的，即（a+b）（a－b）=a2－b2.［生］这恰好是我们上节课学过的平方差公式.［生］我明白了.上一节课，我们用多项式与多项式相乘的法则验证了平方差公式.今天，我们又通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释，太妙了.［生］用拼图来验证平方差公式很直观，一剪一拼，利用面积相等就可推证.［师］由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学习平方差公式，也许你会发现它更“神奇

4、”的作用.想一想：（1）计算下列各组算式，并观察它们的特点.（2）从以上的过程中，你发现了什么规律？（3）请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？［生］（1）中算式算出来的结果如下：［生］从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大1.［师］是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢？［生］我猜想是.我又找了几个例子如：［师］你能用字母表示这一规律吗？［生］设这个自然数为a，与它相邻的两个自然数为a－1，a+1，则有（a+1）（a－1）=a2－1.［生］这个结论是正确的，用平方差公式即可说明.［生］可是，我有一个疑问，a必须是一个自然数，还

5、必须大于2吗？（同学们惊讶，然后讨论）［生］a可以代表任意一个数.二.思考讨论例如：计算29×31很麻烦，我们就可以转化为（30－1）（30+1）=302－1=900－1=899.［师］的确如此.我们在做一些数的运算时，如果能一直有这样“巧夺天工”的方法，太好了.我们不妨再做几个类似的练习.［例1］用平方差公式计算：（1）103×97（2）118×122［师］我们可以发现，直接运算上面的算式很麻烦.但注意观察就会发现新的奥妙.［生］我发现了，103=100+3，97=100－3，因此103×97=（100+3）（100－3）=10000－9=9991.太

6、简便了！［生］我观察也发现了第（2）题的“奥妙”.118=120－2，122=120+2118×122=（120－2）（120+2）=1202－4=14400－4=14396.［生］遇到类似这样的题，我们就不用笔算，口算就能得出.三.例题学习［例2］计算：（1）a2（a+b）（a－b）+a2b2；（2）（2x－5）（2x+5）－2x（2x－3）.分析：上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简.解：（1）a2（a+b）（a－b）+a2b2=a2（a2－b2）+a2b2=a4－a2b2+a2b2=

7、a4（2）（2x－5）（2x+5）－2x（2x－3）=（2x）2－52－（4x2－6x）=4x2－25－4x2+6x=6x－25注意：在（2）小题中，2x与2x－3的积算出来后，要放到括号里，因为它们是一个整体.［例3］公式的逆用（1）（x+y）2－（x－y）2（2）252－242分析：逆用平方差公式可以使运算简便.解：（1）（x+y）2－（x－y）2=［（x+y）+（x－y）］［（x+y）－（x－y）］=2x·2y=4xy（2）252－242=（25+24）（25－24）=49随堂练习1.（1）704×696（2）（x+2y）（x－2y）+（x+1）（

8、x－1）（3）x（x－1）－（x－）（x+）（可让学生先在练习本上完成，教师巡视