山东省2014届理科数学一轮复习试题选编42：函数的最值与导数(教师版)

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1、山东省2014届理科数学一轮复习试题选编42：函数的最值与导数一、填空题．（山东省德州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知函数,给出如下四个命题:①f(x)在[)上是减函数;②f(x)的最大值是2;③函数y=f(x)有两个零点;④f(x)≤在R上恒成立;其中正确的命题有___________(把正确的命题序号都填上).【答案】①③④．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（理））已知若使得成立,则实数a的取值范围是.【答案】【解析】,当时,函数递增;当时,函数递减,所以当时取得极小值即最小值.函数的最大值为,若使得成立,则有的最大值大于或等于

2、的最小值,即.二、解答题．（山东省2013届高三高考模拟卷（一）理科数学）已知函数,的图象过点,且在点处的切线与直线垂直.(1)求实数的值;(2)求在为自然对数的底数)上的最大值;(3)对任意给定的正实数,曲线上是否存在两点P,Q,使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边的中点在轴上【答案】【解析】(1)当时,,由题意,得即解得.(2)由(1),知①当时,,由,得;由,得或.所以在和上单调递减,在上单调递增.因为,,,所以在上的最大值为2.②当时,,当时,;当时,在上单调递增.所以在上的最大值为.所以当时,在上的最大值为;当时,在上的最大值为2.(3)

3、假设曲线上存在两点P,Q满足题意,则P,Q只能在轴两侧,因为△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,所以,不妨设,则由△POQ斜边的中点在轴上知,且.所以.(*)是否存在两点P,Q满足题意等价于方程(*)是否有解.若,则,代入方程(*),得,即,而此方程无实数解;当时,则,代入方程(*),得,即,设,则在上恒成立,所以在上单调递增,从而,即的值域为.因为,所以的值域为,所以当时,方程有解,即方程(*)有解.所以对任意给定的正实数,曲线上总存在两点P,Q,使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边的中点在轴上.．（山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科

4、数学（2012济南二模））已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为常数,设e为自然对数的底数.(1)当a=-1时,求f(x)的最大值;(2)若f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求a的值;(3)当a=-1时,试推断方程=是否有实数解.【答案】解:(1)当a=-1时,f(x)=-x+lnx,f′(x)=-1+当00;当x>1时,f′(x)<0.∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数=f(1)=-1(2)∵f′(x)=a+,x∈(0,e],∈①若a≥,则f′(x)≥0,从而f(x)在(0,e]上增函数∴=f(e)=ae+1

5、≥0.不合题意②若a<,则由f′(x)>0>0,即0

6、f(x)

7、≥1又令g(x)=,g′(x)=,令g′(x)=0,得x=e,当00,g(x)在(0,e)单调递增;当x>e时,g′(x)<0,g(x)在(e,+∞)单调递减∴=g(e)=<1,∴g(x)<1∴

8、f(x)

9、>g(x),即

10、f(x)

11、>∴方程

12、f(x)

13、=没有实数解．（山东师大附中20

14、13届高三第四次模拟测试1月理科数学）已知函数(1)当时,求函数的单调区间;(2)已知对定义域内的任意恒成立,求实数的范围.【答案】【解析】:(Ⅰ)当时,的变化情况如下表:1+0-0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数的单调递增区间是,单调递减区间是(Ⅱ)由于,显然时,,此时对定义域内的任意不是恒成立的,当时,易得函数在区间的极小值、也是最小值即是,此时只要即可,解得,实数的取值范围是．（山东省潍坊市四县一校2013届高三11月期中联考(数学理)）已知函数(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)当时,若在区间上的最小值为-2,求的取值范围;(Ⅲ)若对任意,

15、且恒成立,求的取值范围.注:以下为附加题,附加题满分为5分,附加题得分计入总分,但附加题:23.已证:在中,分别是的对边.求证:.【答案】解:(Ⅰ)当时,因为.所以切线方程是(Ⅱ)函数的定义域是当时,令,即,所以或当,即时,在[1,e]上单调递增,所以在[1,e]上的最小值是;当时,在[1,e]上的最小值是,不合题意;当时,在(1,e)上单调递减,所以在[1,e]上的最小值是,不合题意(Ⅲ)设,则,只要在上单调递增即可而当时,,此时在上单调递增;当时,只需在上恒成立,因为,只要,则需要,对于函数,过定点(0,1),对称轴,只需,即.综上【D】23．(