2013年北京高考数学(理科)试卷

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1、2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学（理）本试卷共5页，150分.考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合，，则（）A．B．C．D．（2）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（3）“”是“曲线过坐标原点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件（4）执行如图所示

2、的程序框图，输出的S值为（）A．1B．C．D．（5）函数的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线对称，则A．B．C．D．（6）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A．B．C．D．（7）直线l过抛物线的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（）A．B．2C．D．（8）设关于x、y的不等式组表示的平面区域内存在点，满足，求得m的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）在极坐标系中，点到直线的距离等于___________．（10）若等比数列满足，，则公比___________，前n项和__________

3、_．（11）如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若，，则___________，___________．（12）将序号分别为1，2，3，4，5，的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是___________．三、解答题15、在△ABC中，，，．（1）求的值；（2）求c的值．16、下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．（1）求此

4、人到达当日空气重度污染的概率；（2）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分步列与数学期望；（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）．17、如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形．平面⊥平面，，．（1）求证：⊥平面;（2）求证二面角的余弦值；（3）证明：在线段上存在点，使得，并求的值．18、（本小题共13分）设l为曲线在点处的切线．（1）求l的方程；（2）证明：除切点之外，曲线C在直线l的下方．19、（本小题共14分）已知A，B，C是椭圆上的三个点，O是坐标原点．（1）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求

5、此菱形的面积；（2）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．20、已知是由非负整数组成的无穷数列，设数列前n项的最大值为，第n项之后各项，，…的最小值记为，．（1）若为2，1，4，3，2，1，4，3，…是一个周期为4的数列，写出、、、的值；（2）设d是非负整数，证明：的充分必要条件是是公差为d的等差数列；（3）证明：若，，则的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．参考答案12345678BDACDBCC一、选择题二、填空题9.110.2，11.,412.9613.414.三、解答题15、解析：（1）由条件可以看出，已知两角关系，

6、求角，明显应用正弦定理解决问题．即．（2）由已知两边和角求第三边，所以我们应用余弦定理求解．，即，所以或（舍）16、解析：（1）；（2）X012P（3）5，6，7三天17、解析：（1）．由（2）建立如图所示的空间直角坐标系，，，．，，，．设平面的法向量为，平面的法向量为，所以，，（3）设点D的竖坐标为，在平面中作于E，根据比例关系可知，，所以，．又∵，∴，∴，∴．18、解：（1），于是，因此l的方程为；（2）只需要证明，且时，．设，，则，因此在上单调递减，在上单调递增．进而，即原命题得证．19、解析：（1）线段OB的垂直平分线为，因此，进而菱形面积为．（

7、2）四边形OABC不可能是菱形．只需要证明若，则A点与C点的横坐标相等或互为相反数．设，则A、C为圆与椭圆的交点．因此，于是结论得证20、解：（1），，，．（2）充分性：若是公差为d的等差数列，则．于是，．因此．必要性：若，假设是第一个使得的项，则，与矛盾．因此是不减的数列．进而，即，因此是公差为d的等差数列．（3）1°：首先中的项不能是0，否则，矛盾．2°：中的项不能超过2，用反证法证明如下：若中有超过2的项，设是第一个大于2的项．中一定存在项为1，否则与矛盾；当时，，否则与矛盾；因此存在最大的i在2到之间，使得，此时，矛盾．综上，中没有超过2的项．