高考数学复习 第72课时 第九章 直线、平面、简单几何体-空间直线名师精品教案

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1、第72课时:第九章直线、平面、简单几何体——空间直线课题:空间直线一.复习目标:1.了解空间两条直线的位置关系.2.掌握两条直线所成的角和距离的概念,会计算给出的异面直线的公垂线段的长.二.课前预习:1.下列四个命题:(1)分别在两个平面内的两条直线是异面直线(2)和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条(3)和两条异面直线都相交的两条直线必异面(4)若与是异面直线,与是异面直线,则与也异面其中真命题个数为(D)32102.在正方体中,、分别是棱和的中点,为上底面的中心,则直线与所成的角为(A)3004506003.在棱长为的正四面体中,相对两条棱间的距离为

2、___.(答案:)4.两条异面直线、间的距离是1cm,它们所成的角为600,、上各有一点A、B,距公垂线的垂足都是10cm,则A、B两点间的距离为_______.答案:PABCDbca三.例题分析:例1.已知不共面的三条直线、、相交于点,,,,,求证:与是异面直线.证一:(反证法)假设AD和BC共面,所确定的平面为α,那么点P、A、B、C、D都在平面α内,∴直线a、b、c都在平面α内,与已知条件a、b、c不共面矛盾,假设不成立,∴AD和BC是异面直线。证二:(直接证法)∵a∩c=P,∴它们确定一个平面,设为α,由已知C平面α,B∈平面α,AD平面α,BAD

3、,∴AD和BC是异面直线。ACEGFDBαβ例2.一条长为的线段夹在互相垂直的两个平面、之间,AB与所成角为,与所成角为,且,,,、是垂足,求(1)的长;(2)与所成的角解:(1)连BC、AD,可证AC⊥β,BD⊥α,∴ABC=300,∠BAD=450,Rt△ACB中,BC=AB·cos300=,在Rt△ADB中,BD=AB·sin450=在Rt△BCD中,可求出CD=1cm(也可由AB2=AC2+BD2+CD2-2AC·BD·cos900求得)(2)作BE//l,CE//BD,BE∩CE,则∠ABE就是AB与CD所成的角,连AE,由三垂线定理可证BE⊥A

4、E,先求出AE=,再在Rt△ABE中,求得∠ABE=600。说明:在(3)中也可作CH⊥AB于H,DF⊥AB于F,HF即为异面直线CH、DF的公垂线,利用公式CD2=CH2+DF2+HF2-2·CH·DFcosα,求出cosα=。四.课后作业:1.AB、CD在平面α内,AB//CD,且AB与CD相距28厘米,EF在平面α外,EF//AB,且EF与AB相距17厘米,EF与平面α相距15厘米,则EF与CD的距离为(C)25厘米39厘米25或39厘米15厘米2.已知直线a,如果直线b同时满足条件:①a、b异面②a、b所成的角为定值③a、b间的距离为定值,则这样的

5、直线b有(D)1条2条4条无数条3.已知异面直线a与b所成的角为500,P为空间一点,则过点P与a、b所成的角都是300的直线有且仅有(B)1条2条3条4条4.在正三棱柱中,若,则与所成的角的大小.答案:.A1ABB1DD1CC1O5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1的中,求证:B1D被平面A1BC1分成1∶2的两段.证明:如图1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连结B1D1,A1C1,BD,AC.设B1D1A1C1=M,BDAC=N.∴M,N分别是B1D1,AC的中点.连结BM,D1N.∵BB1∥DD1,且BB1=DD1,∴四边形BDD1B

6、1是平行四边形.在平面BDD1B1中,设B1DBM=O,B1DD1N=O1,A1ABB1DD1CC1图1MONO1在平行四边形BDD1B1中,∵D1M∥NB,且D1M=NB,∴四边形BND1M是平行四边形.∴BM∥ND1,即OM∥O1D1,∴O是BO1的中点,即O1O=OB1.同理,OO1=O1D.∴O1O=OB1=O1D.综上,OB1∶OD1=1∶2.6.如图,已知平面α、β交于直线,AB、CD分别在平面α,β内,且与分别交于B,D两点.若∠ABD=∠CDB,试问AB,CD能否平行?并说明理由.证明:直线AB,CD不能平行.否则,若AB∥CD,则AB∥C

7、D共面,记这个平面为γ.BCDAαβl∴AB,CDγ.∴ABα,D∈γ.由题知,ABα,D∈α,且DÏAB,根据过一条直线及这条直线外一点,有且仅有一个平面,α与γ重合.同理,β与γ重合.∴α与β重合,这与题设矛盾.∴AB,CD不能平行.7.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,求证:CD1所在的直线与BC1所在的直线是异面直线.AA1D1DCC1B1B证明:假设CD1所在的直线与BC1所在的直线不是异面直线.设直线CD1与BC1共面α.∵C,D1∈CD1,B,C1∈BC1,∴C,D1,B,C1∈α.∵CC1∥BB1,∴CC1,BB1确定平面BB1C1C

8、,∴C,B,C1∈平面BB1C1C.∵不共线的三点C,B,C1只有

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