高考数学一轮总复习 7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题教案 理 新人教a版

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1、7.3　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题典例精析题型一　平面区域【例1】已知函数f(x)的定义域为[－2，＋∞)，且f(4)＝f(－2)＝1，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如图所示，则平面区域所围成的面积是(　　)A.2B.4C.5D.8【解析】选B.由f′(x)的图象可知，f(x)在[－2,0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数.因为f(－2)＝f(4)＝1，所以当且仅当x∈(－2,4)时，有f(x)＜f(－2)＝f(4)＝1.作出可行域如图所示，其围成的图形面积为4.【

2、点拨】不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.【变式训练1】若a≥0，b≥0，且当时，恒有ax＋by≤1，则以a，b为坐标的点P(a，b)所形成的平面区域的面积是()　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.B.C.1D.【解析】选C.当a＝b＝1时，满足x＋y≤1，且可知0≤a≤1，0≤b≤1，所以点P(a，b)所形成的平面区域为边长为1的正方形，所以面积为1.本题关键是确定点所形成的区域形状.题型二　利用线性规划求最值(1)z＝x＋2y－4的

3、最大值；(2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；(3)z＝的取值范围.【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A(1,3)，B(3,1)，C(7,9).(1)易知直线x＋2y－4＝z过点C时，z最大.所以x＝7，y＝9时，z取最大值21.(2)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方，过点M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是()2＝.(3)z＝2·表示可行域内任一点(x，y)与定点Q(－1，－)连线斜率的2倍.因为kQA＝，kQB＝，所以

4、z的取值范围为[，].【点拨】线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处或边界上取得，充分理解目标函数赋予的几何意义是本例的关键.【变式训练2】已知函数f(x)＝x3＋ax2－bx＋1(a，b∈R)在区间[－1,3]上是减函数，求a＋b的最小值.【解析】因为f′(x)＝x2＋2ax－b，f(x)在区间[－1,3]上是减函数.所以f′(x)≤0在[－1,3]上恒成立.则作出点(a，b)表示的平面区域.令z＝a＋b，求出直线－2a－b＋1＝0与6a－b＋9＝0的交点A的坐标为(－1,3).当直线z＝a＋b

5、过点A(－1,3)时，z＝a＋b取最小值2.题型三　线性规划的实际应用【例3】某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m3，第二种有56m3.假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一张圆桌需要用第一种木料0.18m3，第二种木料0.08m3，可获利润6元，生产一个衣柜需要用第一种木料0.09m3，第二种木料0.28m3，可获利润10元.木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜应各生产多少时才能使所获利润最大？最大利润是多少？【解析】设圆桌生产的张数为x，衣柜生产的个数为y，所获利润为z，则z＝6

6、x＋10y，当直线l：6x＋10y＝0平移到经过点M(350,100)时，z＝6x＋10y最大.zmax＝6×350＋10×100＝3100，所以生产圆桌350张，衣柜100个可获得最大利润3100元.【点拨】解实际线性规划问题，首先设出变量，建立不等式模型表示出约束条件，一定要注意问题的实际意义(如本题中x≥0，y≥0)，然后画出可行域，利用图形求解.【变式训练3】某实验室需购某种化工原料至少106千克，现在市场上该原料有两种包装：一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元.

7、在满足需要的条件下，最少要花费　　　元.【解析】500.设需35千克的x袋，24千克的y袋，则目标函数z＝140x＋120y，约束条件为当x＝1时，y≥，即y＝3，这时zmin＝140＋120×3＝500.总结提高1.用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知，找出约束条件和目标函数是关键.2.可行域是二元一次不等式组所表示的平面区域，可行域可以是封闭的多边形，亦可是一侧开放的无限大的平面区域.3.若可行域是一个多边形，那么一般在顶点处，使目标函数值取得最值，最优解一般是多边形的某个顶点.4.实际问题的最优

8、解要求是整数解时，这时要对最优解(非整数解)进行适当调整，其方法是在边界直线的附近寻求与目标函数直线距离最近的整点，而不要在最优解的附近寻找.