高考数学一轮总复习 5.4 三角恒等变换教案 理 新人教a版

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1、5.4　三角恒等变换典例精析题型一　三角函数的求值【例1】已知0＜α＜，0＜β＜，3sinβ＝sin(2α＋β)，4tan＝1－tan2，求α＋β的值.【解析】由4tan＝1－tan2，得tanα＝＝.由3sinβ＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，所以3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα，即2sin(α＋β)cosα＝4cos(α＋β)sinα，所以tan(α＋β)＝2tanα＝1.又因为α、β∈(0，)，所以α＋β＝.【点拨】三角函数式的化简与求值的主要过程是

2、三角变换，要善于抓住已知条件与目标之间的结构联系，找到解题的突破口与方向.【变式训练1】如果tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，那么tan(α＋)等于(　　)A.　B.C.D.【解析】因为α＋＝(α＋β)－(β－)，所以tan(α＋)＝tan[(α＋β)－(β－)]＝＝.故选C.题型二　等式的证明【例2】求证：＝－2cos(α＋β).【证明】证法一：右边＝＝＝＝＝左边.证法二：－＝＝＝2cos(α＋β)，所以－2cos(α＋β)＝.【点拨】证法一将2α＋β写成(α＋β)＋α，使右端的角形式上一致，易于共同运算；证法二把握结构特征，用“变更问题法”证明，简捷而新颖.【变式

3、训练2】已知5sinα＝3sin(α－2β)，求证：tan(α－β)＋4tanβ＝0.【证明】因为5sinα＝3sin(α－2β)，所以5sin[(α－β)＋β]＝3sin[(α－β)－β]，所以5sin(α－β)cosβ＋5cos(α－β)sinβ＝3sin(α－β)cosβ－3cos(α－β)sinβ，所以2sin(α－β)cosβ＋8cos(α－β)sinβ＝0.即tan(α－β)＋4tanβ＝0.题型三　三角恒等变换的应用【例3】已知△ABC是非直角三角形.(1)求证：tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC；(2)若A＞B且tanA＝－2tanB，

4、求证：tanC＝；(3)在(2)的条件下，求tanC的最大值.【解析】(1)因为C＝π－(A＋B)，所以tanC＝－tan(A＋B)＝，所以tanC－tanAtanBtanC＝－tanA－tanB，即tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.(2)由(1)知tanC＝＝＝＝＝＝.(3)由(2)知tanC＝＝≤＝，当且仅当2tanB＝，即tanB＝时，等号成立.所以tanC的最大值为.【点拨】熟练掌握三角变换公式并灵活地运用来解决与三角形有关的问题，要有较明确的目标意识.【变式训练3】在△ABC中，tanB＋tanC＋tanBtanC＝，tanA＋tanB＋1

5、＝tanAtanB，试判断△ABC的形状.【解析】由已知得tanB＋tanC＝(1－tanBtanC)，(tanA＋tanB)＝－(1－tanAtanB)，即＝，＝－.所以tan(B＋C)＝，tan(A＋B)＝－.因为0＜B＋C＜π，0＜A＋B＜π，所以B＋C＝，A＋B＝.又A＋B＋C＝π，故A＝，B＝C＝.所以△ABC是顶角为的等腰三角形.总结提高三角恒等式的证明，一般考虑三个“统一”：①统一角度，即化为同一个角的三角函数；②统一名称，即化为同一种三角函数；③统一结构形式.