高考数学一轮复习 10.3 组合教案

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1、10.3组合●知识梳理1.组合的概念：从n个不同元素中任取m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，组合的个数叫组合数，用C表示.2.组合数公式C=.3.组合数的两个性质：（1）C=C；（2）C=C+C.●点击双基1.从4台甲型电脑和5台乙型电脑中任取3台，其中两种电脑都要取，则不同的取法种数是A.140B.84C.70D.35解析：取3台分两类：①2台甲型1台乙型，有C·C种；②1台甲型2台乙型，有C·C种.∴C·C+C·C=30+40=70（种）.答案：C特别提示先从甲型、乙型中各抽1台，有C·C种，再从余下的中选1台，有C种，故有C·C·C=140（种）.解法不正确

2、.2.（2004年北京，理17）从长度分别为1、2、3、4、5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n种.在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m，则等于A.B.C.D.解析：n=C=10，由余弦定理知可组成钝角三角形的有“2、3、4”和“2、4、5”，故m=2.∴==.答案：B3.已知{1，2}X{1，2，3，4，5}，满足这个关系式的集合X共有_____________个.A.2B.6C.4D.8解析：由题意知集合X中的元素1，2必取，另外可从3，4，5中可以不取，取1个，取2个，取3个，故有C+C+C+C=8（个）.答案：D4.（2003年东北三校模拟题）将一个四棱

3、锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色.若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为_____________.解析：设四棱锥为P—ABCD.（1）P：C，A：C，B：C，C与B同色：1，D：C.（2）P：C，A：C，B：C，C与B不同色C，D：C.共有C·C·C·1·C+C·C·C·C·C=420.答案：4205.某校准备参加2004年全国高中数学联赛，把10个名额分配给高三年级8个班，每班至少1人，不同的分配方案有_____________种.解析：把10个名额分成8份，每份至少一个名额即可，用隔板法：C=C=36.答案：36●典例剖析【例1】某外语组有9人，每人至少会英语和

4、日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选取会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法?解：由题意可知，只会英语的有6人，只会日语的有2人，英语和日语都会的有1人.以只会英语的人数分类，C·C·C+C·C=20.【例2】设集合A={1，2，3，…，10}，（1）设A的3个元素的子集的个数为n，求n的值；（2）设A的3个元素的子集中，3个元素的和分别为a1，a2，…，an，求a1+a2+a3+…+an的值.解：（1）A的3元素子集的个数为n=C=120.（2）在A的3元素子集中，含数k（1≤k≤10）的集合个数有C个，因此a1+a2+…+an=C×（1+2+3+…+10）=1980.评述：

5、在求从n个数中取出m（m≤n）个数的所有组合中各组合中数字的和时，一般先求出含每个数字的组合的个数，含每个数字的个数一般都相等，故每个数字之和与个数之积便是所求结果.【例3】从1，2，…，30这30个自然数中，每次取不同的三个数，使这三个数的和是3的倍数的取法有多少种？解：令A={1，4，7，10，…，28}，B={2，5，8，11，…29}，C={3，6，9，…，30}组成三类数集，有以下四类符合题意：①A，B，C中各取一个数，有CCC种；②仅在A中取3个数，有C种；③仅在B中取3个数，有C种；④仅在C中取3个数，有C种.故由加法原理得共有C·C·C+3C=1360种.评述：按元素的性质分

6、类是处理带限制条件的组合问题的常用方法，对于某几个数的和能被某数整除一类的问题，通常是将整数分类，凡余数相同者归同一类.思考讨论讨论下面的问题：用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成没有重复数字的能被25整除的四位数多少个？提示：能被25整除的数的后两位是25或50，后两位是50的数有A个，后两位是25的数有3×3=9个，所以能被25整除的四位数的个数为A+9=21.【例4】如图，从一个3×4的方格中的一个顶点A到对顶顶点B的最短路线有几条？解：从A到B的最短路线，均需走7步，包括横向的4步和纵向的3步，于是我们只要确定第1，2，…，7步哪些是横向的，哪些是纵向的就可以了，实际只要确定哪

7、几步是横向走.所以每一条从A到B的最短路线对应着从第1，2，…，7步取出4步（横向走）的一个组合，因此从A到B的最短路线共有C=C=35条.深化拓展1.某城市由n条东西方向的街道和m条南北方向的街道组成一个矩形街道网，如下图所示.要从A处走到B处，使所走的路程最短，有多少种不同的走法？解：将相邻两个交点之间的街道称为一段，那么从A到B需要走（n+m－2）段，而这些段中，必须有东西方向的（n－1）段，其余的为南