高考数学 数列 专题复习教案 苏教版

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1、数列【例1】在数列中，（），则﹦．【分析】由得，∴是等差数列，∴．【答案】．【例2】数列满足，，则．【分析】∵，∴，，，，，……．∴该数列周期为4．∴．【答案】．【例3】在等差数列中，若，则﹦．【分析】∵数列是等差数列，∴由得，．∴．【答案】8．【例4】已知的前n项之和…﹦．【分析】可求得．则…﹦．【答案】67．【例5】设是数列的前项和，若不等式对任何等差数列及任何正整数恒成立，则的最大值是．【分析】当时，；当时，由得．设，则．又﹦，∴．综上的最大值是.【答案】．【例6】设为数列的前项和，，其中是常数．（1）求及；（2）若对于任意的，成等比数列，

2、求的值．解：（1）当，，当时，又当时合上式，∴（）．（2）∵成等比数列，∴，即，整理得：对任意的都成立，∴或．【例7】数列中，（），数列满足（）．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列中的最大项与最小项，并说明理由．解：（1），而（），∴（）．∴数列是等差数列．（2）依题意有，而，∴．函数在（3.5，）上为减函数，在（，3.5）上也为减函数．故当n＝4时，取最大值3，n＝3时，取最小值-1．【例8】在等差数列中，，前项和满足条件．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．解：（1）设等差数列的公差为，由得．又，∴．∴．∴．（2）由，得．

3、∴．①当时，；当且时，．②①－②得，∴．综上．【例9】某个体户，一月初向银行贷款1万元作为开店启动资金，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需要交纳所得税为该月利润的10%，每月的生活费开支为540元，余额作为资金全部投入下个月的经营，如此不断继续，问到这年年底该个体户还贷款前尚余多少资金？若银行贷款的年利息为5%，问该个体户还清银行贷款后还有多少资金？（参考数据：．结果精确到0.1元）解：设第个月月底的余额为元，则，，于是＝＝．还清银行贷款后剩余资金为．答：到这年年底该个体户还贷款前尚余资金元；还清银行贷款后还有资金元．【例1

4、0】已知分别以和为公差的等差数列和满足，．（1）若=18，且存在正整数，使得，求证：；（2）若，且数列，，…，，，，…，的前项和满足，求数列和的通项公式；（3）在（2）的条件下，令，，，且，问不等式≤是否对一切正整数恒成立？请说明理由．解：（1）依题意，，即，即，等号成立的条件为，即．，等号不成立，原命题成立．（2）由得，即，即，得，，．则，．（3）在（2）的条件下，，．要使≤，即要满足≤0．当时，，数列单调减；单调增．当正整数时，，，；当正整数时，，，；当正整数时，，，．则不等式≤对一切的正整数恒成立．同理，当时，也有不等式≤对一切的正整数恒成

5、立．综上所述，不等式≤对一切的正整数恒成立．【练习1】在数列中，（），则其前8项的和=．【答案】．【练习2】已知数列满足，当时，，则数列的前100项和＝　　　　　　　．【答案】1849．【练习3】在各项均为正数的等比数列中，，则．【答案】6．【练习4】已知数列的前项和（），第项满足，则﹦．【答案】7．【练习5】已知数列中，（是与无关的实数常数），且满足，则实数的取值范围是___________．【答案】．【练习6】数列的前项和记为．（1）求的通项公式；（2）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求．解：（1）由可得，两式相减得．又，∴

6、．∴是首项为，公比为的等比数列．∴．（2）设的公差为，由得，可得，∴．故可设．又，由题意可得，解得．∵等差数列的各项为正，∴．∴．【练习7】已知是公差为的等差数列，它的前项和为,,．（1）求公差的值；（2）若，求数列中的最大项和最小项的值；（3）若对任意的，都有成立，求的取值范围．解：（1）∵，∴，解得．（2）∵，∴数列的通项公式为．∴．∵函数在和上分别是单调减函数，∴，又当时，．∴数列中的最大项是，最小项是．（3）由得．又函数在和上分别是单调减函数，且时，；时，．∵对任意的，都有，∴，∴．∴的取值范围是．【练习8】等差数列的各项均为正数，，前项

7、和为，为等比数列，，且．（1）求与；（2）证明：．解：（1）设的公差为，的公比为，则，，．依题意有．解得或(舍去)．∴．（2）∵，∴．【练习9】某企业进行技术改造需向银行贷款，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息．若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？（取）解：①甲方案获利：（万元），银行贷款本息：（万元），故甲方案纯利：（万元）．②

8、乙方案获利：（万元），银行本息和：（万元），故乙方案纯利：（万元）．综上可知，甲方案更好．【练习10】设向量，函数在上的最小值与最大值的