高二数学下 12.6《双曲线的性质》教案（1） 沪教版

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1、12.6双曲线的性质一、教学内容分析本节的重点是双曲线性质的研究，通过双曲线的图像来研究双曲线的范围、对称性、顶点、实轴、虚轴、渐近线等内容.本节的难点是渐近线方程与双曲线方程之间的关系，以及渐近线与双曲线的位置关系.二、教学目标设计本节课主要采用类比的教学方法研究双曲线的基本性质，介绍等轴双曲线、共轭双曲线的概念及性质，讨论共渐近线的双曲线系方程，使学生加深对双曲线性质的理解，能利用这些性质解决实际问题.三、教学重点及难点重点：双曲线的性质.难点：双曲线的渐近线与双曲线的位置关系.四、教学流程设计渐近线的研究问题拓展:共渐近线的双曲线系方程等轴双曲线共轭双曲线小结概念辨析范围,顶点

2、,对称性复习引入类比椭圆性质五、教学过程设计一、复习引入1．观察复习双曲线的定义、双曲线的标准方程（焦点位置）、标准方程中的意义（与椭圆对比）2．思考（类比椭圆）椭圆有哪些几何性质？[说明]讨论双曲线的几何性质与讨论椭圆的几何性质，方法是相同的，这部分的内容可以采用类比的教学方法，让学生根据研究椭圆性质的方法类比双曲线的性质，得到一些结论并加以研究.3．讨论研究双曲线几何性质，双曲线图形发展趋势怎样？二、学习新课1．概念辨析以双曲线标准方程，为例进行说明.1．范围:观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧.从双曲线的方程如何验证？由标准方程可得，当时

3、，y才有实数值；对于y的任何值，x都有实数值这说明从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线2.对称性：双曲线不封闭，但仍具三个对称性，称其对称中心为双曲线的中心3．顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点.(结合图形)，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，它们是双曲线的顶点,对称轴上位于两顶点间的线段叫做双曲线的实轴长，它的长是2a，a叫半实轴长而在方程中令x=0得，这个方程没有实数根，说明双曲线和y轴没有交点.但y轴上的两个特殊点，在双曲线中也有非常重要的作用把线段叫

4、做双曲线的虚轴，它的长是2b，b叫做虚半轴长归纳：顶点：特殊点：实轴：长为2a，a叫做半实轴长.虚轴：长为2b，b叫做虚半轴长.注意：名称，不要把虚轴与椭圆的短轴混淆双曲线只有两个顶点，与椭圆的又一差异4．渐近线：经过作轴、轴的平行线，围成一个矩形，其对角线所在的直线方程为.（1）定义：如果有一条直线使得当曲线上的一点沿曲线无限远离原点时，点到该直线的距离无限接近于零，则这条直线叫这一曲线的渐近线；（2）直线与双曲线在无穷远处是否相交？解：不失一般性，只研究双曲线在第一象限内的部分与直线的位置关系;设是上的点，是直线上与有相同横坐标的点，则,，∴在的下方.∴，是关于的减函数，∴无限增

5、大时，无限趋近于，而到直线的距离，∴无限增大时，也无限趋近于，但永不相交.其他象限类似证明；（3）求法：在方程中，令右边为零，则，得渐近线方程即；若方程为，则渐近线方程为.2．问题拓展（一）等轴双曲线1、定义：若a=b即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线2、方程：或.3、等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直.注意以上几个性质与定义式彼此等价.3）等轴双曲线方程可以设为：,当时交点在轴，当时焦点在轴上.例：等轴双曲线的两个焦点在直线上，线段的中点是原点，分别写出等轴双曲线和两条渐近线的方程.（二）共轭双曲线1、定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的

6、双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.2、方程：（1）的共轭双曲线为；的共轭双曲线为;（2）互为共轭的一对双曲线方程合起来写成为或;3、性质：有一对共同的渐近线；有相同的焦距，四焦点共圆；4、注意：（1）共渐近线的两双曲线不一定是共轭双曲线，如和；（2）与（a≠b）不共渐近线，有相同的焦距，四焦点共圆；例如：分清①、与②、③、④、⑤之间的关系.（三）共渐近线的双曲线系方程问题(1)与;(2)与的区别?(1)不同（互换）相同，焦点所在的坐标轴也变了,但二者具有相同的渐近线(共轭双曲线);(2)不同,不同，焦点所在的坐标轴未变且二者具有相同的渐近线.由此:双曲线的渐近线是，但反过来此渐近线对应

7、的双曲线则很多.问题:共用同一对渐近线的双曲线的方程具有什么样的特征？如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成.当时交点在x轴，当时焦点在y轴上.即:双曲线（）与双曲线有共同的渐近线.证明：若，则双曲线方程可化为，渐近线，双曲线的渐近线方程为，∴两双曲线渐近线相同；若，则双曲线方程可化为，渐近线，即，又∵双曲线的渐近线方程为，∴两双曲线渐近线相同，所以，原命题结论成立.[说明]与双曲线（）有共同渐近线的所有双曲线方程为（）．3．例题