12.6双曲线的性质(一)

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1、12.6双曲线的性质教学目标：（1）研究双曲线的基本性质;（2）讨论渐近线的双曲线;（3）能利用性质解决实际问题教学重点：双曲线的性质.难点：双曲线的渐近线与双曲线的位置关系.一．知识链接1.1.双曲线的焦点坐标是双曲线上一点P到左焦点距离为3那么P到右焦点距离为2.双曲线的焦距是8，则m=3..椭圆有哪些几何性质？[说明]讨论双曲线的几何性质与讨论椭圆的几何性质，方法是相同的，这部分的内容可以采用类比的方法，让根据研究椭圆性质的方法类比双曲线的性质，得到一些结论并加以研究.二、新知探究：1．概念辨析以双曲线标准方程

2、，为例进行说明.1．范围:观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧.从双曲线的方程如何验证？2.对称性：双曲线不封闭，但仍具三个对称性，称其对称中心为双曲线的中心3．顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点.(结合图形)，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，它们是双曲线的顶点,对称轴上位于两顶点间的线段叫做双曲线的实轴长，它的长是2a，a叫半实轴长把线段叫做双曲线的虚轴，它的长是2b，b叫做虚半轴长归纳：顶点：特殊点：实轴：长为2a，a叫做半实轴长.虚轴：长为2b，b叫做虚半轴长.

3、注意：名称，不要把虚轴与椭圆的短轴混淆双曲线只有两个顶点，与椭圆的又一差异渐近线：经过作轴、轴的平行线，围成一个矩形，其对角线所在的直线方程为.定义：如果有一条直线使得当曲线上的一点沿曲线无限远离原点时，点到该直线的距离无限接近于零，则这条直线叫这一曲线的渐近线；“漫漫长路无交点”直线与双曲线在无穷远处是否相交？（证明见课本P58）求法：在方程中，令右边为零，则，得渐近线方程即；若方程为，则渐近线方程为.三、问题拓展（一）等轴双曲线1、定义：若a=b即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线2、方程：或.3、等轴双

4、曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直.注意以上几个性质与定义式彼此等价.3）等轴双曲线方程可以设为：,当时焦点在轴，当时焦点在轴上.（二）共轭双曲线1、定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.2、方程：（1）的共轭双曲线为；的共轭双曲线为;3、性质：有一对共同的渐近线；有相同的焦距，四焦点共圆；（三）共渐近线的双曲线系方程即:双曲线（）与双曲线有共同的渐近线.四例题分析1、写出双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程2.已知双曲线过点,它的一条渐

5、近线的方程为，求双曲线的标准方程；3.双曲线的渐近线方程为，且焦距为10，求双曲线方程.五、课堂小结双曲线的范围、对称性、中心、顶点、实轴长、虚轴长、渐近线方程、等轴双曲线；注意：双曲线的渐近线是，但反过来此渐近线对应的双曲线则是.六、课后巩固1.如果中心在原点，对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点为,求此双曲线的标准方程；2.求以为渐近线，一个焦点是F（0，2）的双曲线方程.3.求中心在原点，适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）顶点在x轴上，两顶点间的距离是10，且经过点；、（2）一个焦点坐标为，一条渐近线方程

6、为。4.已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，并且双曲线上两点的坐标分别为，,求该双曲线的标准方程；5．设双曲线：；（1）求双曲线的共轭双曲线的方程；（2）求证：双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一圆上。6.若双曲线的中心在坐标原点，它的一个焦点的坐标是,两个顶点的距离为6，则此双曲线的方程是（）（A）（B）（C）（D）7在下列双曲线中以为渐近线的是()（A）（B）（C）（D）8.已知双曲线，求（1）它的焦点坐标；（2）求两渐近线的夹角；9.（选做）已知：直线与双曲线相交于A,B两点。（1）求实数a的取值范围；（2

7、）求当实数a为何值时，以线段AB为直径的圆经过坐标原点；