高二数学 二项式定理同步教案 新人教a版

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1、高二数学（第31周）【教学内容】1、二项式定理；2、二项式系数的性质。【教学目标】使学生理解并掌握二项式定理，理解二项展开式的通项、二项式系数、项的系数等概念，理解并掌握二项式系数的性质，并能够比较熟练地运用这些基本概念和性质来解决一些常见的题型。【知识讲解】1、二项式定理的性质（1）二项展开式共有n+1项。（2）指数：a的指数由n开始按降幂排列到0，b的指数由0按升幂排列到n，在每一项中a与b的指数之和为n。（3）系数：各项的二项式系数依次为：，，，…，，…，。（4）在二项展开式中，要注意区分“二项式系数”与“展开式系数”两个不同的概念。（5

2、）通项：二项展开式中第r+1项（0≤r≤n）叫做通项。通项公式是一个非常重要的公式，常常用它来求二项展开式中某特殊项，例如求指定幂的项，常数项，中间项，有理项，系数最大的项，具有某种性质的连续若干项等等。因此我们必须清楚地记住通项公式的结构特点，同时还注意：①通项是对(a+b)n形式的展开而言，至于(b+a)n展开式的通项是，两者的通项不相同，不可混淆。②(a－b)n展开式的通项是（0≤r≤n）。2、如果a的绝对值比1小得多，且n不太大的时候，可以应用公式：(1+a)n=1+na(a＞0)(1－a)n=1－na(a＞0)计算(1±a)n的近似值

3、，使它达到预定的精确要求，如果精确的要求很高，还应用这个近似公式来计算，其结果的误差会达不到要求，因此就需要在(1±a)n的展开式中往后继续取一项或几项来计算，结果总会达到要求。3、(a+b)n的展开式中相邻两项和的二项式系数之间有一个特定的关系：这里，n－r正好是第r+1项中a的幂指数，从而二项展开式的系数又具有一个性质：在展开式中，从第2项起的二项式系数，等于它的前一项的二项式系数乘以该项中a的幂指数，再除以该项中b的幂指数与1的和。4、二项式系数的性质（1）如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间

4、两项的二项式系数相等并且最大。（2）在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。（3）(a+b)n的展开式的所有二项式系数的和等于2n。（4）(a+b)n的展开式，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。例1.展开解法一：原式==解法二：原式=说明：对于比较复杂的二项式要进行展开时，可以先对它进行适当地化简后再进行展开，这样可以简便运算。例2.求(1+2x)7的展开式中第四项的二项式系数及第四项的系数。解：∵展开式的第四项∴第四项的二项式系数为第四项的系数为。例3.求的展开式中x3的系数及x3的二项式系数。解：∵展开式

5、的通项是：由题意得：9－2r=3∴r=3∴x3项的系数为x3项的二项式系数为。例4.求的展开式中的常数项（或称不含x的项或称含x0的项）。解：∵展开式的通项是：由题意得：，∴r=6∴常数项为。答：常数项为5005。例5.计算(0.997)3的近似值（精确到0.001）解：(0.997)3=(1－0.003)3=≈1－3×0.003=0.991由精确度的要求，从第三项起以后各项都可以删除。例6.在的展开式中有多少个有理项？解：∵展开式的通项为：根据题意当与均为正整数时，Tr+1为有理项。∴r应是4的倍数且≤r≤100∴r可取0，4，8，12，……

6、，100∴展开式中共有26个有理项。例7.已知的展开式中第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为14:3，求展开式中的常数项。解：由已知条件得：整理得：n2－5n－50=0∴n=10∴展开式的通项为：由题意得：，∴r=2∴常数项为第三项。例8.已知的展开式，第5项的系数与第3项的系数的比是56:3，求展开的中间项。解：∵∴第5项的系数为同理可求第3项的系数为。由题意得：∴n2－5n－50=0解之得：n=10∴展开式共有11项∴展开式的中间项为第6项∴答：中间项为。例9.证明：32n+2－8n－9能被64整除（n∈N）证明：32n+2－8n－

7、9=9n+1－8n－9=(8+1)n+1－8n－9===又∵∴32n+2－8n－9能被64整除。例10.若展开式的各项系数的和是128，求展开式中含x5这一项的系数。解：由题意知展开式的各项系数的和就是各项的二项式系数的和。∴2n=128∴n=7∴展开式的通项为：令∴r=4∴含x5项的系数为例11.若(1+x)n展开式中连续三项的系数的比是3:8:14，求展开式中二项式系数最大的项。解：因为(1+x)n展开式中连续三项的系数就是连续三项的二项式系数，所以由题意得：8r=3(n－r+1)故∴14(r+1)=8(n－r)n=10解之得：r=3∴展开

8、式中二项式系数最大的项为第6项，即。例12.求(1+5x)15的展开式中的最大系数。解：设第r+1项系数最大，因为这三项的系数分别为，，，所以≥≥即≥