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《高二数学 8.6抛物线的几何性质(备课资料)大纲人教版必修》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、●备课资料一、怎样教学生讨论曲线的性质？答：在中学里，除了直线这种简单的情况外，对于较为简单的曲线，讨论其几何性质一般包括以下四个方面：（1）确定曲线的范围.由曲线方程F(x,y)=0.分别确定x与y的取值范围，从而分别判断曲线的左、右与上、下部分的“顶点”的分布情况.（2）判断有没有对称性，在曲线方程F(x,y)=0中，如果把x（或y）换成-x(或-y)，方程不变，那么曲线关于y（或x)轴对称；如果把x与y同时换成-x与-y，方程不变，那么曲线关于原点对称（这时曲线关于x轴或y轴却不一定对称）.（3）求出在x轴上的“截距”（即求出曲线与x轴的交
2、点的横坐标）和y轴上的“截距”（即求出曲线与y轴的交点的纵坐标）.这可以通过解由F(x,y)=0与y=0（或x=0)所组成的方程组求得.注意曲线与坐标轴的交点不一定是曲线的“顶点”.（4）判断有没有渐近线.对于椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线，还要研究它的离心率在数值上有什么特征，等等.二、参考例题［例1］如图所示，过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，如何证明直线MQ平行于抛物线的对称轴？解：思路一：求出M、Q的纵坐标并进行比较，如果相等，则MQ∥x轴，为此，将方程y2=2px,y=k(x-)联立，解出
3、P（）,Q()直线OP的方程为y=,即y=.令x=-，得M点纵坐标yM==yQ.得证.由此可见，按这一思路去证，运算较为繁琐.思路二：利用命题“如果过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1、y2，那么y1y2=-p2”来证.设P（x1,y1）、Q(x2,y2)、M(x3,y3)，并从y2=2px及y=k(x-)中消去x，得到ky2-2py-kp2=0，则有结论y1y2=-p2，即y2=.又直线OP的方程为y=x,含x=-,得y3=-.因为P（x1,y1）在抛物线上，所以2x1=.从而y3=-=(-py1)·=y
4、2.这一证法运算量较小.思路三：直线MQ的方程为y=y0的充要条件是M（-,y0）,Q(,y0).将直线MO的方程y=-和直线QF的方程y=(x-)联立，它的解(x,y)就是点P的坐标，消去y0，可得y2=2px，可知直线MQ的方程为y=y0的充要条件是点P在抛物线上，得证.这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维，运算量也较小.注：本题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时（即斜率不存在），容易证明成立.以上摘自《中学数学教学参考》2000年11期［例2］已知过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，点R是含抛物线顶点O的
5、弧AB上一点，求△RAB的最大面积.分析：求RAB的最大面积，因过焦点且斜率为1的弦长为定值，故可以
6、AB
7、为三角形的底，只要确定高的最大值即可.解：设AB所在的直线方程为y=x-.将其代入抛物线y2=2px,得y2-2py-p2=0∴
8、AB
9、=
10、y1-y2
11、=·当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时，△RAB的面积有最大值.设直线l方程为y=x+b.代入抛物线方程得y2-2py+2pb=0由Δ=4p2-8pb=0，得b=这时R（,p）.它到AB的距离为h=p∴△RAB的最大面积为
12、AB
13、·h=p2.［例3］直线l1过点M（-1，0），与抛物线
14、y2=4x交于P1、P2两点，P是线段P1P2的中点，直线l2过P和抛物线的焦点F，设直线l1的斜率为k.(1)将直线l2的斜率与直线l1的斜率之比表示为k的函数f(k);（2）求出f(k)的定义域及单调区间.分析：l2过点P及F，利用两点的斜率公式，可将l2的斜率用k表示出来，从而写出f(k)，由函数f(k)的特点求得其定义域及单调区间.解：（1）设l1的方程为：y=k(x+1).将它代入方程y2=4x,得k2x2+(2k2-4)x+k2=0设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P(x,y)则x1+x2=将x=代入y=k(x+1)，得：y=
15、，即P点坐标为（,).由y2=4x,知焦点F（1，0）∴直线l2的斜率k2=∴函数f(k)=.(2)∵l1与抛物线有两个交点，∴k≠0且Δ=(2k2-4)2-4k4＞0解得-1＜k＜0或0＜k＜1∴函数f(k)的定义域为{k
16、-1＜k＜0或0＜k＜1}当k∈(-1,0)及k∈(0,1)时，f(k)为增函数.[例4]设定长为L（L≥1）的线段AB的两个端点在抛物线y=x2上移动，求AB中点到x轴距离的最小值.分析：设M（x0,y0）为线段AB的中点，由
17、AB
18、=L可构建关于x0、y0的方程，而y0即为点M到x轴的距离，利用函数或不等式即可求出y0的
19、最小值.解：设直线AB的方程为y=kx+b,A、B两点的坐标为（x1,y1）、（x2,y2），AB中点M的坐标为（x0,y0），由方程组
