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时间:2018-12-19
《高二数学 7.4简单的线性规划(备课资料)大纲人教版必修》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、备课资料一、平面区域问题在直角坐标平面内,直线l可以用二元一次方程Ax+By+C=0来表示,点P(x0,y0)在直线l上的充要条件是Ax0+By0+C=0;若点P不在直线l上,则Ax0+By0+C>0或Ax0+By0+C<0,二者必居其一.直线l:Ax+By+C=0将平面划分为两个半平面Ax+By+C>0和Ax+By+C<0,位于同一个半平面内的点,其坐标必适合同一个不等式.要确定一个二元一次不等式所表示的半平面,可用“特殊点”法,如取原点或坐标轴上的点来检验.另外,还可证明如下结论:(1)若A>0,则Ax+By+C>0表示直线l:Ax+By+C=0右侧的半平面,Ax+B
2、y+C<0表示直线l左侧的半平面.(2)若B>0,则Ax+By+C>0表示直线l:Ax+By+C=0上方的半平面,Ax+By+C<0表示直线l下方的半平面.[例1]在直角坐标平面上有两个区域M和N.M是由y≥0,y≤x和y≥z-x这三个不等式确定的.N是随t变化的区域,它由不等式t≤x≤t+1的确定,t的取值范围是0≤t≤1.设M和N的公共面积是函数f(t),求证:f(t)=-t2+t+.导析:这是一个基本问题,关键是确定M和N的公共部分的形状.可先让学生自行画出M、N这两个区域,然后再作判断.如图所示,依题意,区域M是图中△AOB,区域N是直线x=t与x=t+1(0≤t
3、≤1)之间的带形域.M和N的公共部分为图中的阴影部分五边形ACDEF(包括边界).关于五边形ACDEF面积的计算,可引导学生从下面三个途径去考虑:(1)△AOB的面积减去Rt△ODC、Rt△BEF的面积;(2)过A作x轴的垂线,将其划分为两个直角梯形来计算;(3)连结CF,将其划分为一个直角三角形CAF和一个直角梯形CDEF去求解.[例2]已知实数x、y满足2x+y≥1,求u=x2+y2+4x-2y的最小值.导析:注意到所求式的结构特点,学生容易想到将其作如下的配方变形.u=(x+2)2+(y-1)2-5显然,(x+2)2+(y-1)2表示点P(x,y)与定点A(-2,1
4、)的距离的平方.由约束条件2x+y≥1知,点P(x,y)在直线l:2x+y=1的右上方区域G.于是,问题转化为求定点A(-2,1)到区域G的最近距离.由图知,点A到直线l的距离为A到区域G中点的距离的最小值.d=∴d2=.故umin=d2-5=-.说明:这是一个条件最值问题,由于所求式呈现出两点间距离的特点,所以我们应用了等价转化的思想,应用解析法使问题得到巧妙地解决.[例3]设实数x、y满足不等式组(1)求点(x,y)所在的平面区域;(2)设a>-1,在(1)所求的区域内,求函数f(x,y)=y-ax的最值.导析:必须使学生明确,求点(x,y)所在的平面区域,关键是确定
5、区域的边界线,可从去掉绝对值符号入手.(1)已知的不等式组等价于解得点(x,y)所在的平面区域为所示的阴影部分(含边界).其中,AB:y=2x-5;BC:x+y=4;CD:y=-2x+1;DA:x+y=1.(2)f(x,y)表示直线l:y-ax=k在y轴上的截距,且直线l与(1)中所求区域有公共点.∵a>-1,∴当直线l过顶点C时,f(x,y)最大.∵C点的坐标为(-3,7),∴f(x,y)的最大值为7+3a.如果-1<a≤2,那么当直线l过顶点A(2,-1)时,f(x,y)最小,最小值为-1-2a.如果a>2,那么当直线l过顶点B(3,1)时,f(x,y)最小,最小值为
6、1-3a.说明:由于直线l的斜率为参数a,所以在求截距k的最值时,要注意对参数a进行讨论,方法是将直线l动起来.二、参考例题[例1]不等式2x-y-6>0表示的平面区域在直线2x-y-6=0的()A.左上方B.右上方C.左下方D.右下方分析:因直线2x-y-6=0不过原点,故可取原点(0,0)代入2x-y-6,得2×0-0-6=-6<0,在直角坐标系中画出直线2x-y-6=0,结合图形可知与原点同在直线一侧的平面区域表示2x-y-6<0,故2x-y-6=0右下方表示2x-y-6>0.解:在直角坐标系中画出直线2x-y-6=0,将原点(0,0)代入直线方程2x-y-6=0即
7、可判定,应选D.[例2]图中阴影部分可用二元一次不等式组表示()A.B.C.D.分析:结合图形可知,相关联的直线方程分别为x=0,y=-2,2x-y+4=0,再由原点(0,0)代入2x-y+4可知2×0-0+4=4>0,故与原点同侧的平面区域表示2x-y+4≥0的区域.解:找出相关直线方程后,将原点(0,0)坐标代入直线方程判定平面区域可知选C.[例3]画出不等式组表示的平面区域图形,并计算它表示的平面区域的面积.分析:分别画出直线x=3,x+y=0,x+5-y=0,再代点判定平面区域.解:在直角坐标系画出直线x=3,x+y=
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