高中数学《平面向量应用举例》教案8 新人教a版必修4

高中数学《平面向量应用举例》教案8 新人教a版必修4

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1、第五教时教材:实数与向量的积目的:要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律,理解向量共线的充要条件。过程:一、复习:向量的加法、减法的定义、运算法则。二、1.引入新课:已知非零向量作出++和(-)+(-)+(-)BAOCPQMN==++=3==(-)+(-)+(-)=-3讨论:1°3与方向相同且

2、3

3、=3

4、

5、2°-3与方向相反且

6、-3

7、=3

8、

9、2.从而提出课题:实数与向量的积实数λ与向量的积,记作:λ定义:实数λ与向量的积是一个向量,记作:λ1°

10、λ

11、=

12、λ

13、

14、

15、2°λ>0时λ与方向相同;λ<0时λ与方向相反;λ=0时λ=3.运算定律:结合律:λ(

16、μ)=(λμ)①第一分配律:(λ+μ)=λ+μ②第二分配律:λ(+)=λ+λ③结合律证明:如果λ=0,μ=0,=至少有一个成立,则①式成立如果λ¹0,μ¹0,¹有:

17、λ(μ)

18、=

19、λ

20、

21、μ

22、=

23、λ

24、

25、μ

26、

27、

28、

29、(λμ)

30、=

31、λμ

32、

33、

34、=

35、λ

36、

37、μ

38、

39、

40、∴

41、λ(μ)

42、=

43、(λμ)

44、如果λ、μ同号,则①式两端向量的方向都与同向;如果λ、μ异号,则①式两端向量的方向都与反向。从而λ(μ)=(λμ)第一分配律证明:如果λ=0,μ=0,=至少有一个成立,则②式显然成立如果λ¹0,μ¹0,¹当λ、μ同号时,则λ和μ同向,∴

45、(λ+μ)

46、=

47、λ+μ

48、

49、

50、=(

51、λ

52、

53、+

54、μ

55、)

56、

57、

58、λ+μ

59、=

60、λ

61、+

62、μ

63、=

64、λ

65、

66、

67、+

68、μ

69、

70、

71、=(

72、λ

73、+

74、μ

75、)

76、

77、∵λ、μ同号∴②两边向量方向都与同向即:

78、(λ+μ)

79、=

80、λ+μ

81、当λ、μ异号,当λ>μ时②两边向量的方向都与λ同向当λ<μ时②两边向量的方向都与μ同向还可证:

82、(λ+μ)

83、=

84、λ+μ

85、∴②式成立第二分配律证明:如果=,=中至少有一个成立,或λ=0,λ=1则③式显然成立OABB1A1当¹,¹且λ¹0,λ¹1时1°当λ>0且λ¹1时在平面内任取一点O,作λλ则+λ+λ由作法知:∥有ÐOAB=ÐOA1B1

86、

87、=λ

88、

89、∴λ∴△OAB∽△OA1B1∴λÐAOB=ÐA1

90、OB1因此,O,B,B1在同一直线上,

91、

92、=

93、λ

94、与λ方向也相同AOBB1A1λ(+)=λ+λ当λ<0时可类似证明:λ(+)=λ+λ∴③式成立4.例一(见P104)略三、向量共线的充要条件(向量共线定理)1.若有向量(¹)、,实数λ,使=λ则由实数与向量积的定义知:与为共线向量若与共线(¹)且

95、

96、:

97、

98、=μ,则当与同向时=μ当与反向时=-μ从而得:向量与非零向量共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ使=λ2.例二(P104-105略)三、小结:四、作业:课本P105练习P107-108习题5.31、2

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