高中数学 空间几何体 板块二 截面与距离问题完整讲义（学生版）

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1、学而思高中完整讲义：空间几何体.板块二.截面与距离问题.学生版典例分析棱锥、棱台的中截面与轴截面【例1】正四棱锥的侧棱长是底面边长的倍，求的取值范围．【例2】正四棱锥的斜高为，侧棱长为，求棱锥的高与中截面（即过高线的中点且平行于底面的截面）的面积？【例3】正四棱台的高为，两底面的边长分别是和，求这个棱台的侧棱长和斜高．【例4】已知正六棱台的上，下底面的边长和侧棱长分别为，，，则它的高和斜高分别为【例5】已知正三棱锥的高，斜高，求经过的中点且平行于底面的截面的面积．【例6】如图所示的正四棱锥，它的高，侧棱长为

2、，⑴求侧面上的斜高与底面面积．⑵是高的中点，求过点且与底面平行的截面（即中截面）的面积．【例1】如图，已知棱锥的底面积是，平行于底面的截面面积是，棱锥顶点在截面和底面上的射影分别是、，过的三等分点作平行于底面的截面，求各截面的面积．圆锥、圆台的中截面与轴截面【例2】把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是，母线长，求圆锥的母线长．【例3】一圆锥轴截面顶角为，母线长为，求轴截面的面积．【例4】圆台的母线长为，母线和轴的夹角为，一个底面半径是另一个底面半径的倍，求圆台的高与上下两底面面积之和．【例5】

3、圆台两底半径分别是和，母线长是，求它的轴截面的面积；【例6】圆台侧面的母线长为，母线与轴的夹角为，一个底面半径是另一个底面半径的倍，则两底面半径为．【例7】圆台的一个底面周长是另一个底面周长的倍，轴截面的面积等于，母线与底面的夹角是，求这个圆台的母线长．【例1】用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是，截去的圆锥的母线长是，求圆台的母线长．【例2】圆台母线长为，母线与轴的夹角为，一个底面的半径是另一个底面半径的倍，求两底面半径以及两底面面积之和．【例3】圆锥轴截面顶角为，母线长为．⑴

4、求轴截面的面积；⑵过顶点的圆锥的截面中，最大截面的面积．球的截面【例4】在球心同侧有相距的两个平行截面，它们的面积分别为和．求球的半径．【例5】已知半径为的球的两个平行截面的周长分别为和，求这两个截面间的距离．【例6】（2008四川卷８）设是球心的半径上的两点，且，分别过作垂直于的平面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为（　　）A．　　B．　　C．　　　D．【例7】球面上有三点、、组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中，、，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的半径．【例8】（2008全国Ⅱ）已

5、知球的半径为，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为，则两圆的圆心距等于（）A．B．C．D．组合体的截面分析【例9】一个轴截面是正三角形的圆锥内有一个轴截面是正方形的内接圆柱，求它们的高的比值和母线长的比值．【例10】（2007湖南理8）棱长为的正方体的个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（）A．B．C．D．【例1】（2008年江西卷10）连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦、的长度分别等于、，、分别为、的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列

6、四个命题：①弦、可能相交于点②弦、可能相交于点③的最大值为5④的最小值为1其中真命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个多面体与简单旋转体的表面最短距离问题【例2】如图正方体，其棱长为，分别为线段，上的两点，且．求在正方体侧面上从到的最短距离．【例3】已知如图，正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为．【例4】如图所示，正三棱锥的侧棱长为，，和分别为棱和上的点，求的周长的最小值．【例5】如图，长方体中，，，，并且．求沿着长方体的表面自到的最短线路

7、的长．【例1】如图所示，设正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，．过作与侧棱相交的截面，求截面周长的最小值．【例2】如图，圆台上底半径为，下底半径为，母线，从中点拉一绳子绕圆台侧面转到点（在下底面）．⑴求绳子的最短长度；⑵求绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．【例3】已知以为顶点的正四面体，其棱长为，分别为上的两点，且．求在正四面体侧面上从到的最短距离．【例1】（2005江西，理15）如图，在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点，沿棱柱的表面从到两点的最短路径的长度为．【例2】如图所示，正三棱锥的侧棱长为，

8、，和分别为棱和上的点，求的周长的最小值．球面距离【例3】（2008辽宁）在体积为的球的表面上有三点，，，，两点的球面距离为，则球心到平面的距离为．【例4】（06四川卷理10）已知球的半径是1，、、三点都在球面上，、两点和、两点的球面距离都是，、两点的球面距离是，则二面角的大小是（　　　）A．B．C．D．【例5】、是半径为的球的球面上两点，它们的球面距离为，求过、的平面中，与球心的最大距离是多少？【例6】已知三点在