高中数学 数系的扩充和复数的概念教案 新人教a版选修1

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1、数系的扩充与复数的引入目标认知学习目标：1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件；2.了解复数的代数表示法及其几何意义；3.会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.重点：复数的概念，复数的代数运算及数系的扩充难点：对概念的准确理解以及复数的几种意义学习策略①复数是对数系的又一次扩充，对复数（），既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部和虚部分解成两部分去认识它，这是理解复数问题的重要思路。②复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行；求解计算时，要充分利用i的性质计算问题；③复数问题

2、实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件.知识要点梳理知识点一：复数的基本概念1.虚数单位:（1）它的平方等于，即；（2）是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；（3）可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；2.概念形如（）的数叫复数，记作：（）；其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示。说明：这里容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据.3.复数的分类（）4.复数集与其它数集之间的关系5.复数与实

3、数、虚数、纯虚数、0的关系：对于复数（）①当且仅当时，复数是实数；②当且仅当时，复数叫做虚数；③当且仅当且时，复数叫做纯虚数；④当且仅当时，复数就是实数0.6.复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：如果，那么特别地：.说明：（1）（2）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.（3）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础.（4）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实

4、数时才能比较大小.6.共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，那么这两个复数叫做互为共轭复数.复数的共轭复数用表示。即复数的共轭复数记作：（）.注意：实数的共轭复数仍是它本身。知识点二：复数的代数表示法及其四则运算1.复数的代数形式:把复数表示成（）的形式，叫做复数的代数形式.2.四则运算设，（），则注意：复数除法通常上下同乘分母的共轭复数.3．指数幂的运算律在复数集C中，指数幂的运算律仍然成立即对任意及，有，，规定：知识点三：复数的几何意义1.复平面、实轴、虚轴：如图所示，复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复

5、数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.注意：实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数集与复平面内点的对应关系按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点这是复数的一种几何意义。3.复数集与复平面中的向量的对应关系在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数。设复平面

6、内的点表示复数（），向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定。复数集C和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即复数平面向量这是复数的另一种几何意义。4.复数的模设（），则向量的长度叫做复数的模，记作.即.理解:①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小.②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等。知识点四：复数加减法的几何意义如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量.对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量.规律方法指导1.复数的表示

7、形式：代数形式：（）几何表示：①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）；②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数.理解：复数复平面内的点平面向量2.虚数单位的周期性：，，，（）.3.复数的分类对于复数（）①为实数；②为虚数；③为纯虚数且；④为非纯虚数且；⑤.4.互为共轭复数的两个复数的性质：代数特征：实部相等，虚部互为相反数.几何特征：复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等。设复数（），则其共轭复数为（）①②，即实数的共轭复数仍是它本身。③④