高中数学 向量 板块一 向量的概念与线性运算完整讲义（学生版）

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1、学而思高中完整讲义：向量.板块四.平面向量的应用.学生版典例分析题型一：向量及与向量相关的基本概念【例1】判断下列命题是否正确，并说明理由：（1）共线向量一定在同一条直线上。（）（2）所有的单位向量都相等。（）（3）向量共线，共线，则共线。（）（4）向量共线，则（）（5）向量，则。（）（6）平行四边形两对边所在的向量一定是相等向量。（）【例2】给出命题⑴零向量的长度为零，方向是任意的.⑵若，都是单位向量，则＝.⑶向量与向量相等.⑷若非零向量与是共线向量，则，，，四点共线.以上命题中，正确命题序号是（）A．⑴B．⑵C．⑴⑶D．⑴⑷【例3】如图，在正方形中，下列描述中正确的是（）A．B．C．D．

2、【例4】下列命题正确的是（）A.与共线，与共线，则与也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量与不共线，则与都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行【例1】设为单位向量，①若为平面内的某个向量，则；②若与平行，则；③若与平行且，则．上述命题中，假命题个数是（）A．B．C．D．【例2】下列命题中正确的有：()⑴四边形是平行四边形当且仅当；⑵向量与是两平行向量；⑶向量与是共线向量，则，，，四点必在同一直线上；⑷单位向量不一定都相等；⑸与共线，与共线，则与也共线；⑹平行向量的方向一定相同；【例3】判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向(2)若，则(

3、3)单位向量都相等(4)向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终点也相同(6)若，，则；(7)若，，则(8)若四边形ABCD是平行四边形,则(9)的充要条件是且；【例4】在四边形ABCD中，“”是“四边形ABCD为梯形”的A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件【例5】判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.【例1】平

4、面向量，共线的充要条件是（）A．，方向相同B．，两向量中至少有一个为零向量C．，D．存在不全为零的实数，，【例2】给出下列命题：①若，则；②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若，，则；④的充要条件是且；⑤若，，则；其中正确的序号是．题型二:向量的加、减法【例3】化简【例4】化简下列各式：⑴；⑵【例5】若，，其中，是已知向量，求，.【例1】设是所在平面内的一点，，则（　　）A．B．C．D．【例2】如图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（）A．　　　　B．C．D．【例3】是的边上的中点，则向量（）A．B．C．D．.【例4】根据图示填空：⑴；⑵．【例5】已知是平面上的三个点，

5、直线上有一点，满足，则()A．B．C．D．【例6】设，，，分别是的三边、、上的点，且则与()A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直【例7】如图，，，分别是的边，，的中点，则（）A．B．C．D．【例1】如图所示，是四边形的对角线的中点，已知，求向量．【例2】如图，在ΔABC中，D、E为边AB的两个三等分点，，，求，．ABCDE【例3】已知任意四边形中，分别是的中点，求证：．【例4】若则向量的关系是（）A．平行B．重合C．垂直D．不确定【例1】若非零向量，满足，则（）A．　　B．C．D．【例2】在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是()A．B．C．D．BCAP题型三:向量

6、数乘运算及其几何意义【例3】已知、是两个不共线的向量，若它们起点相同，、、t（+）三向量的终点在一直线上，则实数t=_________.【例4】设，，为非零向量，其中任意两个向量不共线，已知与共线，且与共线，则．【例5】已知是不共线的向量，，，，则四点中共线的三点是___________【例6】设是不共线的两个向量，已知，，，若三点共线，求的值．【例7】设是不共线的向量，已知向量，若三点共线，求的值．【例1】已知A、B、C、P为平面内四点，求证：A、B、C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m、n，使，且m+n=1．【例2】已知向量，若向量和共线，则下列关系一定成立的是（）A、B、C、D

7、、或【例3】D、E、F分别是△ABC的BC、CA、AB上的中点，且，，给出下列命题，其中正确命题的个数是（）①②③④A、1B、2C、3D、4【例4】已知：，则下列关系一定成立的是（）A、A，B，C三点共线B、A，B，D三点共线C、C，A，D三点共线D、B，C，D三点共线【例5】如图，在中，、、分别是、、上的中线，它们交于点，则下列各等式中不正确的是（）A．B．C．D．【例1】如图，已知，用表示，则（）A．B．