高中数学 4.1.2 定积分（一） 教案 北师大选修2-2

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1、4.1.2定积分1.复习不定积分的概念.2.讲授新课2.1两个引例引例1曲边梯形的面积由连续曲线（）和及围成的平面图形称为曲边梯形（如图5-1）．由于曲边梯形在底边上各点处的高在区间上是不断变化的，因而它的面积不能由公式底×高求得.为了计算曲边梯形的面积，我们可以先将它分割成若干个小曲边梯形，在小曲边梯形中的变化很小，可以用相应的小矩形近似代替，用所有小矩形的面积之和近似代替整个曲边梯形的面积.显然，分割的越细，近似程度就越高，当无限细分时，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值.根据以上分析，我们

2、按下面的方法求曲边梯形的面积.设函数在区间上连续，且.在上任取个内分点：，将区间分割为个小区间:图1记每一小区间长度为，过分点作轴的垂线，将曲边梯形分割为个小曲边梯形；设表示第个小曲边梯形的面积，则曲边梯形的面积为.在每个小区间上任意取一点，以为底边，为高作小矩形，则小矩形的面积为，当很小时，有若分点越多，就越小，上式的近似程度就越高，小矩形的面积总和也就越接近于曲边梯形的面积.即，此为曲边梯形面积的近似值．若用来表示所有小区间中的最大区间长度，当分点数无限增大且趋于零时，该近似值就趋近于曲边梯形的面积，即.

3、我们把极限称之为曲边梯形的面积．引例2变速直线运动的路程设质点运动的速度函数是连续变化的且大于零，考虑从时刻到时刻所走过的路程．我们仍然采用分割的方法：（1）用分点：将时间区间分成个小区间:，每个小区间的长度记为．（2）近似代替：在每一时间区间内任取一时刻，则质点在该时间区间走过的路程近似为，（3）求和：将每个时间区间上质点所通过的路程的近似值累加起来，就得到时间区间上质点所通过的路程的近似值，即（4）取极限：当分点无限增加时，记小区间最大的一个长度为，当时，则和式的极限就是质点从时刻到时刻的路程，即定积分的

4、定义以上两个例子的实际意义不同，但处理问题的思想方法是相同的，最后所得到的结果都归结为求和式的极限.数学上将这类和式的极限称作为定积分.定义1　设函数在上有定义，任取分点将分成个小区间，记为区间长度，，并在每个小区间上任取一点，得出乘积的和式若时，和式的极限存在，且此极限值与区间[]的分法及点的取法无关，则称这个极限值为函数在上的定积分，记为，即.(1)这里称为被积函数，称为被积表达式，叫积分变量，叫积分区间，称为积分下限，称为积分上限.若在上的定积分存在，则说在上可积.根据定义，在上述例中的曲边梯形的面积用

5、定积分可以表示为；变速直线运动的质点的路程可以表为：.关于定积分的定义，有以下说明：(1)定积分的值只与被积函数、积分区间有关，与积分变量的符号无关.即.(2)定义中要求，若、时有如下规定：当时，，即互换定积分的上、下限，定积分要变号.当时，.在怎样的条件下，在上的定积分一定存在呢？有下面的定理：定理1如果在上连续，则在上可积.定理2如果在上有界，且只有有限个间断点，则在上可积.由此可知，初等函数在其定义区间内都是可积的.定积分的几何意义在讨论曲边梯形面积时，假定，曲边梯形的图形在轴的上方，则积分值是正的，即

6、；若，图形在轴的下方，则积分值是负的，即；若在上有正有负时，则积分值就表示曲线在轴上方和轴下方的面积的代数和.如图2所示.例1用定积分表示图中阴影部分的面积.图4解(1)；(2).图3图5例2利用定积分的几何意义，说明的成立．解的几何意义是由曲线，，围成的图形的面积，如图5-5所示，求得面积为，故．定积分的性质设、在区间上可积，则根据定义可推证定积分有以下的性质：性质1.性质2常数因子可直接提到积分符号前面..性质3代数和的积分等于积分的代数和，即.这一结论可以推广到有限多个函数代数和的情况.性质4对任意的点

7、，有.这一性质称为定积分的可加性，无论还是，性质均成立性质5如果在上有，则.特别地，当时，.性质6（估值定理）若函数在区间上的最大值与最小值分别为和，则.这是因为，由性质5得，再由性质1和性质2即可得结论.性质7(积分中值定理)设在闭区间上连续，则至少存在一点，使.其几何意义是：设，则由曲线，直线及轴所围成的曲边梯形面积等于以区间为底，以为高的矩形的面积(如图6所示).我们称为在上的平均值.例3比较下列各对积分值的大小：(1)与；(2)与.解(1)因为在上，所以.(2)因为在上，所以.例4估计定积分的值．解因

8、是指数函数，由指数函数的性质知，在上的最大值为，最小值为，由性质６有，即.小结定积分的概念（1）定积分的实际背景是解决已知变量的变化率，求它在某范围内的累积问题．通过“分割，局部以不变代变得微量近似，求和得总量近似，取极限得精确总量”的一般解决过程，最后抽象得到定积分的概念．即．（2）据定积分的定义，在[a，b]上连续非负函数的定积分总表示由y=f(x)，x=a，x=b与x轴围成的单曲边梯形的面积，